vectorial

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA
SECRETARÍA GENERAL
COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE
ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

COPADI
PROBLEMARIO COPADI
DE CÁLCULO VECTORIAL
COORDINADORES Y COAUTORES
ING. LUIS HUMBERTO SORIANO SÁNCHEZ
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
ESTUDIANTES COAUTORES
JORGE ALEJANDRO RANGEL RANGEL
PATRICIA MARÍA SÁNCHEZ GÓMEZ
ALEJANDRO FÉLIXREYES
ZEUS HIRAM ZAMORA GUEVARA
JUAN CARLOS ARROYO CASTRO
EDUARDO FABIÁN GÓMEZ RAMÍREZ
ARTURO GUTIÉRREZ LANDA
ISABEL MIRANDA ALVARADO
MÓNICA YADIRA NARVÁEZ CLEMENTE
RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE

PRÓLOGO
La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la
Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de AltoRendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica
(PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno, en
una serie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas que tienen mayor grado de
dificultad para los estudiantes cuando cursan sus asignaturas en la División de Ciencias
Básicas de la Facultad.
Estos ejercicios son planteados yresueltos por nosotros y por estudiantes del PARA, y
revisados por nosotros. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros
los siguientes:
Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos que les
pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa
de la asignatura, en este caso, Cálculo Vectorial, y poder así acreditarla y seguiradelante en sus estudios de ingeniería.
Reafirmar los conocimientos de los autores en asignaturas que ya acreditaron.
Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso en su calidad de
estudiantes del PARA.
Es importante comentar que este Problemario consta de 128 ejercicios de la Asignatura
Cálculo Vectorial, y que además de que se ha revisado el material, se han tratado de
dejarlos ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya
que básicamente se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a
estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Los coordinadores tuvimos que
sugerir ejercicios cuando se consideró que hacían falta para cubrir un determinado tema.
Los ejercicios están distribuidos de lasiguiente forma para cada uno de los temas: 28 de
Extremos de Funciones Escalares de Variable Vectorial, 31 de Funciones Vectoriales, 32 de
Integrales de Línea y 37 de Integración Múltiple.
Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan
Cálculo Vectorial y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que
participaron en su realización,así como lo es para nosotros.

Ing. Luis Humberto Soriano Sánchez
Ing. Pablo García y Colomé

ÍNDICE

Tema

Extremos de funciones escalares de variable vectorial

Página

1

Funciones vectoriales

50

Integrales de línea

75

Integración múltiple

101

COPADI

CÁLCULO VECTORIAL

TEMA I
EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL
1. Determinar los puntoscríticos de
0  x  2 y 0  y  2 .

f ( x , y )  sen x  cos x  sen y  cos y ,

para valores de

Resolución:
En primer lugar, se deriva la función con respecto a " x " y se iguala a cero la derivada para
obtener los puntos críticos. Así,
fx  cos x  sen x ; cos x  sen x  0  1

Una forma adecuada para buscar los puntos críticos cuando se tienen senos y cosenos es dejar todoen términos de coseno o de seno exclusivamente, por medio de identidades trigonométricas, ya que
si dividiéramos entre senx o cos x ,podríamos eliminar un punto crítico.
Se utilizará la identidad cos 2 x  sen 2 x  1 para despejar el coseno y sustituirlo en la ecuación
1 para encontrar los puntos críticos. Luego,
cos 2 x  1  sen 2 x  1  sen 2 x  sen x  0
Ahora se pasa el seno al...