Vibraciones Amortiguadas

Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía. Cuando esto ocurre, la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye con el tiempo y el movimiento se denomina amortiguado.
Existen varios tipos de amortiguamiento:
a. Amortiguamiento viscoso, lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de fluidos.
b.Amortiguamiento de Coulomb, producido por el movimiento relativo de superficies secas.
c. Amortiguamiento estructural, es producido por la fricción interna del material elástico.
En esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio del amortiguamiento viscoso.
AMORTIGUADOR VISCOSO LINEAL.
* Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecánicos oscilan en elinterior de un medio fluido. También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración.
* Este tipo de amortiguador está formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.
* Para nuestro estudiovamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de fricción debido al amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad lineal de la masa pero en sentido opuesto. Esta fuerza de amortiguamiento se expresa:
fa=-cx
En donde c es una constante que describe el grado de amortiguamiento.
Puesto que siempre está dirigida en sentido opuesto a la dirección del movimiento, eltrabajo realizado por la fuerza es siempre negativo. Así pues, hace que disminuya la energía mecánica del sistema.
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
* Fuerza de frenado o de amortiguamiento
Y
X
Equilibrio
Consideremos una partícula de masa m sujeta a un resorte ideal de rigidez k y a un amortiguador tal como se muestra en la figura.
* Si el movimiento descrito por m es vertical, lavibración amortiguada es de un solo grado de libertad.
* Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene:
mg
D.C.L. del bloque:
↓Fx=0
mg-kδst=0
mg=kδst …(1)
*

Émbolo:
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección x, resulta:
Y
X

N
mg
D.C.L. del bloque:
Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δst desde la posición de equilibrio y se suelta sinvelocidad inicial la partícula se moverá describiendo una oscilación libre amortiguada.
* Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la partícula en una posición arbitraria x medida a partir de la posición de equilibrio como se muestra.
* Aplicando la segunda ley de Newton en dirección x, resulta:
↓Fx=max
mg-kδst+x-cx=ma
mg-kδst+x-cx=mx …(2)
Alreemplazar la ecuación (1) en (2), resulta:
mg-kδst-kx-cx=mx
kδst-kδst-kx-cx=mx
-kx-cx=mx
mx+cx+kx=0 …(3)
Entonces la EDO que describe la masa es:
md2xdt2+cdxdt+ kx=0

Esta ecuación diferencial es de Segundo Orden Lineal Homogénea con coeficientes constantes. Su solución es:
x=Aeλt …(4)
x=Aλeλt
x=Aλ2eλt
Reemplazando la ecuación (4) conjuntamente con sus derivadas en laecuación (3), se obtiene la ecuación característica expresada por:
mAλ2eλt+cAλeλt+kAeλt=0
Aeλtmλ2+cλ+k=0
mλ2+cλ+k=0
Las raíces de esta ecuación son:
λ=-c±c2-4mk2m …(5)
O también: si
λ2+cmλ+km=0
Entonces, las raíces de esta ecuación serán:
λ=-cm±cm2-4km2
λ1=-c2m+c2m2-km
λ2=-c2m-c2m2-km
Coeficiente de amortiguamiento crítico ccr.
Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para elcual se hace cero la cantidad subradical de la ecuación (5):
c2-4mk=0
En consecuencia: c=2km=ccr=2mkm=2mωn
El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratorio.

Se presentan tres casos posibles:

1) Movimiento sobre amortiguado:

c24m2>km⇒c>2km=ccr

Esto implica que la fuerza del...