Vinogradov y golbach

Vinogradov y Golbach
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EL TEOREMA DE VINOGRADOV SOBRE LA CONJETURA DE GOLDBACH
§1. Introducci´n. o La conjetura de que todo entero impar mayor o igual que 9 es la suma de tres n´meros primos se conoce como la conjetura ternaria de u Goldbach o la conjetura d´bil de Goldbach. En 1937, I.M. Vinogradov e prob´ que todo n´mero entero impar suficientemente grande se puede o u representarcomo la suma de tres n´meros primos. En el 2002 Mingu Chit Liu y Tianze Wang probaron que un entero impar mayor que 101347 es suma de tres primos. Por otro lado, J. Richstein ha verificado que la conjetura ternaria de Goldbach se cumple para todo n´mero u 14 entero impar mayor que 4 × 10 .

§2. Los Arcos Mayores y Menores. Sea α ∈ R y sea N un n´mero natural. Sea u F (α) =
p≤N

e(pα) log p

endonde

e(x) := e2πix .

Se cumple entonces que
1

R(N ) :=
0

F 3 (α) e(−N α) dα =
p1 +p2 +p3 =N

log p1 log p2 log p3 .

Queremos probar que R(N ) > 0

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se cumple para todo N suficientemente grande. Para este fin, se divide la integral que define a R(N ) en dos partes R(N ) =
M

+
m

F 3 (α) e(−N α) dα

en donde M es el as´ llamado conjunto de arcos mayoresy m el conjunto ı de arcos menores, que definimos a continuaci´n. Sea B > 0 y sea o Q = logB N. Sea 1 ≤ q ≤ Q y sea 0 ≤ a ≤ q tal que (a, q) = 1. Sea M(q, a) = α ∈ [0, 1] : α − a Q ≤ . q N

Lema 1. Los arcos mayores M(q, a) son disjuntos dos a dos siempre que N sea suficientemente grande. Demostraci´n. Supongamos que o α ∈ M(q, a) ∩ M(q , a ) Entonces 1 ≤ |aq − a q| y por lo tanto 1 |aq − a q| aa 1 ≤ = = − 2 Q qq qq q q Por lo tanto N ≤ 2Q3 = 2 log N
3B

y que

a a = . q q

≤

a a −α + α− q q

≤

2Q . N

,

lo cual es imposible siempre que n sea suficientemente grande.

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Definici´n 2. El conjunto de arcos mayores es o
Q q

M =
q=1 a=0 (a,q)=1

M(q, a) ⊂ [0, 1].

El conjunto de arcos menores es m = [0, 1] \ M. Ejercicio 3. Demuestre que la medidade Lebesgue del conjunto M de arcos mayores tiende a cero cuando N → ∞. §3. La Integral Sobre los Arcos Mayores. A continuaci´n estudiamos la integral que define a R(N ) sobre o el conjunto M de arcos mayores. Ser´ necesario informaci´n sobre la a o distribuci´n de los n´meros primos en las progresiones aritm´ticas. o u e Teorema 4. (Siegel-Walfisz). Sea q ≥ 1 y (a, q) = 1. Sea C > 0. Entonces ϑ(x;q, a) :=
p≤x p≡a (q)

log p =

x x +O ϕ(q) logC x

para x ≥ 2 y q ≤ (log x)B . En particular, la constante implicada depende s´lo de C. o Teorema 5. La suma de Ramanujan
q

cq (N ) :=
a=1 (a,q)=1

e

N a q

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es una funci´n multiplicativa de q, esto es, o (q, q ) = 1 implica cqq (N ) = cq (N ) cq (N ).

Teorema 6. Para las sumas de Ramanujan se cumple que cq (N )=
d|(q,N )

µ

q d d

en donde µ es la funci´n de M¨bius. En particular o o (q, N ) = 1 implica cq (N ) = µ(q).

Lema 7. Sea Fx (α) =
p≤x

e(pα) log p.

Sean B y C n´meros reales positivos. Si 1 ≤ q ≤ Q = logB N y u (a, q) = 1, entonces Fx a q = µ(q) QN x+O ϕ(q) logC N

para cada 1 ≤ x ≤ N . La constante implicada depende s´lo de B y C. o Demostraci´n. Sea p ≡ r m´dulo q. Entoncesp|q si y s´lo si (r, q) > o o o 1. Por lo tanto
q

e
r=1 p≤x (r,q)>1 p≡r (q)

p a log p = q

e
p≤x p|q

p a log p q

log p ≤ log q.
p|q

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Por lo tanto Fx
q

a es igual a q
q

r=1

p≤x p≡r (q)

p e a log p = q

e
r=1 p≤x (r,q)=1 p≡r (q)

p a log p + O(log q). q

Si p ≡ r m´dulo q, entonces e(pa/q) = e(ra/q) y para Fx a/q se o obtiene
q

r=1(r,q)=1

r e a q

q

log p+O(log Q) =
p≤x p≡r (q)

e
r=1 (r,q)=1

r a ϑ(x; q, r)+O(log Q). q

Puesto que cq (a) = µ(q) siempre que (a, q) = 1 vemos entonces que Fx a/q es igual a
q

e
r=1 (r,q)=1

r a q

x x +O ϕ(q) logC x

+O(log Q) =

µ(q) QN +O . ϕ(q) logC N

Lema 8. Sea u(β) =

N

e(mβ).
m=1

Entonces
+1/2

J(N ) :=
−1/2

u3 (β)e(−N β) dβ =

N2 + O(N )....