Volúmenes En Integral
Páginas: 5 (1217 palabras)
Publicado: 16 de octubre de 2012
XII
Aplicación 2
V O L Ú M E N E S
12.1 Volúmenes de sección transversal conocida
Definición 12.1
Si un plano corta a un sólido entonces la región común al plano y al sólido se llama una sección del sólido.
Consideremos un sólido tendido en la dirección del eje X, con la propiedad que para
x [pic] [a, b] el plano perpendicular en el punto de abscisa x intersecaal sólido en una sección cuya área es A(x.).
[pic]
Δxi
Volumen tajada = A(xi) Δxi
Volumen sólido = [pic]Δxi
Volumen sólido = [pic]Δxi = [pic]
Ejemplo 12.1:
Calcular el volumen de una pirámide recta de altura h y base cuadrada de lado a.
D/.
Las secciones son cuadrados de lado 2y.
Area de las secciones: (2y)² = 4y²
Por semejanza detriángulos: [pic], luego, y = [pic]
[pic]
Área de las secciones: A(x) = 4y² = 4 [pic] = [pic]
Volumen: V = [pic]
Nota:
Por lo general no se especifica (aquí!!) las unidades de medida. Si la medida lineal está dada, por ejemplo, en centímetros lineales entonces el volumen será en centímetros cúbicos.
Ejemplo12.2
La base de un sólido es la región del plano XY acotada por las gráficas de
y = 4, y = x².
Calcular el volumen del sólido suponiendo que las secciones, que se obtienen al cortarlo con planos perpendiculares al eje X, son triángulos rectángulos isósceles cuya altura es ½ de la hipotenusa que está en el plano XY.
D/.
Longitud de la hipotenusa = base de la sección:b = 4 - x²
altura de la sección: h = [pic]
[pic]
[pic]
área sección: [pic] base × altura = [pic] = [pic](4 - x²)² =[pic](16 - 8x² + x4)
Volumen: V = 2[pic] = [pic]
Ejemplo 12.3
Un tronco que tiene la forma de un cilindro circular recto de radio a está tendido de lado. Se le quita un pedazo en forma de cuña, mediante un corte vertical y otro a unángulo de 45° de manera que la intersección de los cortes es un diámetro del tronco. Calcular el volumen de la cuña.
D/.
[pic]
x² + y² = a², luego, y = [pic]
área sección: a = [pic]y² = [pic] (a² - x²)
volumen de la cuña: V = [pic] = [pic]a³
Ejemplo 12.4
Un depósito de agua, con forma esférica de 50 pies de radio, está al 21.6% de su capacidad. Cuáles la profundidad del agua?
D/.
Volumen total = 100% = [pic]π r³ = [pic]π(50)³ = [pic]π pies³
21.6 % volumen = [pic]π = 36000π
[pic]
x² + y² = 50²
36000 π = [pic] = [pic][pic] = [pic](150h2 – h3)
h³ - 150h² + 108000 = 0
h = 30 La profundidad del agua es 30 pies.
12.2 Volúmenes de sólidos de revolución
Definición 12.2
Si una regióndel plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido de revolución. Se dice que el sólido es generado por la región.
[pic]
[pic]
La recta alrededor de la cual gira la región se llama eje de revolución.
Al intersecar un sólido de revolución con un plano perpendicular al eje se obtiene una sección circular. Si el plano pasa por el punto de abscisa x,el radio del círculo es f(x) y el área de este círculo es π [f(x)]².
Volumen tajada = A(xi) Δxi = π [f(xi))]² Δxi
Volumen sólido = [pic]Δxi
Volumen sólido = [pic][pic]Δxi = [pic][f(x)]² dx
Ejemplo 12.5
Calcular el volumen del sólido generado al girar la región bajo la gráfica de f(x) = x² + 1 alrededor del eje X.
D/.
[pic]Volumen=[pic][pic]
Ejemplo 12.6
La región acotada por el eje Y y las gráficas de y = x³, entre y = 1, y = 8 gira alrededor del eje Y. Calcular el volumen del sólido resultante.
D/.
y = x³, luego, x = [pic]
Volumen = [pic]=[pic]
[pic]
Consideremos, ahora, la región acotada por las gráficas g(x) y f(x) entre x =...
Aplicación 2
V O L Ú M E N E S
12.1 Volúmenes de sección transversal conocida
Definición 12.1
Si un plano corta a un sólido entonces la región común al plano y al sólido se llama una sección del sólido.
Consideremos un sólido tendido en la dirección del eje X, con la propiedad que para
x [pic] [a, b] el plano perpendicular en el punto de abscisa x intersecaal sólido en una sección cuya área es A(x.).
[pic]
Δxi
Volumen tajada = A(xi) Δxi
Volumen sólido = [pic]Δxi
Volumen sólido = [pic]Δxi = [pic]
Ejemplo 12.1:
Calcular el volumen de una pirámide recta de altura h y base cuadrada de lado a.
D/.
Las secciones son cuadrados de lado 2y.
Area de las secciones: (2y)² = 4y²
Por semejanza detriángulos: [pic], luego, y = [pic]
[pic]
Área de las secciones: A(x) = 4y² = 4 [pic] = [pic]
Volumen: V = [pic]
Nota:
Por lo general no se especifica (aquí!!) las unidades de medida. Si la medida lineal está dada, por ejemplo, en centímetros lineales entonces el volumen será en centímetros cúbicos.
Ejemplo12.2
La base de un sólido es la región del plano XY acotada por las gráficas de
y = 4, y = x².
Calcular el volumen del sólido suponiendo que las secciones, que se obtienen al cortarlo con planos perpendiculares al eje X, son triángulos rectángulos isósceles cuya altura es ½ de la hipotenusa que está en el plano XY.
D/.
Longitud de la hipotenusa = base de la sección:b = 4 - x²
altura de la sección: h = [pic]
[pic]
[pic]
área sección: [pic] base × altura = [pic] = [pic](4 - x²)² =[pic](16 - 8x² + x4)
Volumen: V = 2[pic] = [pic]
Ejemplo 12.3
Un tronco que tiene la forma de un cilindro circular recto de radio a está tendido de lado. Se le quita un pedazo en forma de cuña, mediante un corte vertical y otro a unángulo de 45° de manera que la intersección de los cortes es un diámetro del tronco. Calcular el volumen de la cuña.
D/.
[pic]
x² + y² = a², luego, y = [pic]
área sección: a = [pic]y² = [pic] (a² - x²)
volumen de la cuña: V = [pic] = [pic]a³
Ejemplo 12.4
Un depósito de agua, con forma esférica de 50 pies de radio, está al 21.6% de su capacidad. Cuáles la profundidad del agua?
D/.
Volumen total = 100% = [pic]π r³ = [pic]π(50)³ = [pic]π pies³
21.6 % volumen = [pic]π = 36000π
[pic]
x² + y² = 50²
36000 π = [pic] = [pic][pic] = [pic](150h2 – h3)
h³ - 150h² + 108000 = 0
h = 30 La profundidad del agua es 30 pies.
12.2 Volúmenes de sólidos de revolución
Definición 12.2
Si una regióndel plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido de revolución. Se dice que el sólido es generado por la región.
[pic]
[pic]
La recta alrededor de la cual gira la región se llama eje de revolución.
Al intersecar un sólido de revolución con un plano perpendicular al eje se obtiene una sección circular. Si el plano pasa por el punto de abscisa x,el radio del círculo es f(x) y el área de este círculo es π [f(x)]².
Volumen tajada = A(xi) Δxi = π [f(xi))]² Δxi
Volumen sólido = [pic]Δxi
Volumen sólido = [pic][pic]Δxi = [pic][f(x)]² dx
Ejemplo 12.5
Calcular el volumen del sólido generado al girar la región bajo la gráfica de f(x) = x² + 1 alrededor del eje X.
D/.
[pic]Volumen=[pic][pic]
Ejemplo 12.6
La región acotada por el eje Y y las gráficas de y = x³, entre y = 1, y = 8 gira alrededor del eje Y. Calcular el volumen del sólido resultante.
D/.
y = x³, luego, x = [pic]
Volumen = [pic]=[pic]
[pic]
Consideremos, ahora, la región acotada por las gráficas g(x) y f(x) entre x =...
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