A una funcion f se le llama antiderivaada

A una función F se le llama antiderivada de una funciónf, en un intervalo 1,
si F(x) = f(x) para todo valor de x en el intervalo.
Por comodidad este concepto se expresa con la frase "F(x) es una antíderívada
def(x)". Las expresiones "integral indefinida" y "functori primitiva" son
sinónimos de la palabra "antiderivada".
Ejemplos:
Integrar
1. 3x2 dx es la diferencial de x3
x3 es laantídíferencíal de 3x2 dx
2. - sen x dx es la diferencial de cos x
cos x es la antídíferencíal de - sen x dx
Derivar
3. j(x) = .0
F'(x) = 4x3
4. j(x) = .0 - 6
F'(x) = 4x3
10
2. Integral indefinida
Integral indefinida 11
5. j(x) = .0 + -4
5
F'(x) = 4,03
Las funciones (3, 4 Y5) representadas porJ(x) = .0 + e donde e es una
constante (un número real no especificado) tienen por derivada F'(x) =4,03.
2.1
A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama
integración y se denota con el símbolo f que es la inicial de la palabra suma.
Si F(x) es una función primitiva deJ(x) se expresa:
I y = fJ(x) dx = F(x) + e I si y sólo si F'(x) + e = j(x)
La expresión f J(x) dx es la antiderivada de F(x).
f es el signo de integración, se lee "integral de".
j(x)Integrando
dx Diferencial de la variable
x Variable de integración
F(x) Función primitiva
e Constante de integración
Si en la expresión
y = f j(x) dx = F(x) + e (1)
y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x) = j(x), sustituimos
en la expresión anterior
f F'(x) dx = F(x) + e
queda
ddx [fJ(x) dxl = ddx [F(x) + el
j(x) = F'(x)
Fórmulas de derivación. Fórmulas deintegración 13
Trtgonométrtcas
-d sen u = cos u -du dx dx
La derivada del seno de una función u
es el coseno de la función u multiplicado
por la derivada de la función u
respecto a x
d du
dx cos u = - sen u dx
La derivada del coseno de una función
u es igual a menos el seno de la función
u multiplicado por la derivada de
la función u con respecto a x
-d tan u = sec- u -du dx dx
La derivadade la tangente de una función
u es igual al cuadrado de la secante
de la función u. multiplicada
por la derivada de la función u con
respecto a x
-d cot u = ese- du U - dx dx
La derivada de la cotangente de una
función u es igual a menos la cosecante
cuadrada de la función u. multiplicada
por la derivada de la función
u respecto a x
d du
dx sec u = sec u tan u dx
La derivada de lasecante de una función
u es igual a la secante de la función
u por la tangente de la función u.
multiplicada por la derivada de la función
u respecto a x
f cos u du = sen u + e
f sen u du = - cos u + e
f sec- u du = tan u + e
f ese- U du = - cot u + e
f sec u tan u du = sec u + e
f tan u du = L Isec U I + e
f cot u du = L I sen u I + e
f sec u du = L Isec u + tan u I + e
f ese u du + LIese u - cot u I + e
14 CAPíTULO 2. Antiderivadas. Integración indefinida
Las cuatro fórmulas de integración anteriores se deducen al final del
apartado número tres.
Algunas de las fórmulas de integración citadas, pueden estar multiplicadas
por una constante.
d dv du
-dx (uv) = u -dx + v -dx
Las derivada de un producto de dos
funciones es igual a la primera función
por la derivada de lasegunda, más la
segunda función por la derivada de
la primera
Se usará para deducir el método
de integración por partes.
4. Conceptos básicos de la integración
4.1 La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica
de las integrales de las funciones.
f lfix) + g(x) - h(x)] dx = fj(x) dx + f g(x) dx - f h(x) dx
Ejemplos:
1. f (5x2 + 7x - 2) dx = 5f X2 dx +7f x dx - 2f dx
= -5.0 + -7x2 - 2x + e 3 2
2. f (x4
- 3x
2 + 4\v = f X2 dx _ 3f X2 dx + 4f dx
x r- x x x
= fx3dx - 3fxdx + 4f~
= -1 3 x4 - - x2 + 4 L [x] + e 4 2
A cada integral habría que sumarle una constante e pero solamente se
escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante.
En los párrafos que siguen se explica y justifica lo que en los ejemplos...