L hopital

La regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuasy derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cocientede las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume FrançoisAntoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobrecálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
TEOREMAS
Teorema 1.
Suponga que las funciones f y g son diferenciables enuna vecindad perforada del punto a y que g’(x) es distinta de cero en esa vecindad
Supongamos también que:
Lim f(x) = 0 = lim g(x)
x à a x à a
entonces
lim f(x) = lim f’ (x)
x à a g(x) x à a g’(x)
Siempre que el límite exista del lado derecho (como número real finito) o sea +¥ ó -¥
Teorema 2:
Supongamos que las funciones f y g son diferenciables en x = 1, que:
F(a) = 0 = g(a)
Y queg’(a) ¹ 0, entonces
lim f(x) = f’(a)
xà a g(x) g’(a)
Demostración de la regla de L’Hôpital
Supongamos que las funciones f y g del teorema 1 no solamente son diferenciables, sino también quetienen derivadas continuas cerca de x = a y que g’(a) ¹ 0. entonces:
lim f’ (x)
lim f’ (x) = xà a = f’ (a)
xà a g’(x) lim g’ (x) g’(a)
xà a
Por la ley de límites de cocientes. En este caso la Regla deL’Hôpital en la ecuación (2) se reduce al límite.
Lim f(x) = lim f’(a)
xà a g(x) xà a g’(a)
que es una forma débil de la regla. En realidad esta forma débil es la que se aplica por lo general...