Álgebra 1

Universidad Fermin Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Cabudare Edo Lara

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Carlos Linárez
17.873.149
Algebra Lineal
SAIA
POLINOMIO CARACTERISTICO

SUBESPACIOS
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H mismo es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación escalar definidos en V, entonces Hes un subespacio de V.
Un subconjunto H no vacío del espacio vectorial V es un subespacio de V si satisface estas dos condiciones:
si x є H y y є H, entonces x + y є H
si x є H, entonces αx є H para todo α
Este teorema señala que para demostrar que H es un subespacio de V es necesario que:
x + y y αx están en H cuando x y y están en H y α es un escalar
todo subespacio de un espaciovectorial V debe contener el vector cero. Esto es, si un subconjunto no contiene el vector cero, entonces no es subespacio.
El teorema espectral muestra la importancia de los valores propios y vectores propios para caracterizar una transformación lineal de forma única. En su versión más simple, el teorema espectral establece que, bajo unas condiciones determinadas, una transformación lineal de unvector puede expresarse como la combinación lineal de los vectores propios con coeficientes de valor igual a los valores propios por el producto escalar de los vectores propios por el vector al que se aplica la transformación, lo que puede escribirse como:

donde V1, V2, … y λ1, λ2 representan a los vectores propios y valores propios de τ. El caso más simple en el que tiene validez el teorema escuando la transformación lineal viene dada por una matriz simétrica real o una matriz hermítica compleja.
Si se define la enésima potencia de una transformación como el resultado de aplicarla n veces sucesivas, se puede definir también el polinomio de las transformaciones. Una versión más general del teorema es que cualquier polinomio P de es igual a:

El teorema puede extenderse a otras funcioneso transformaciones tales como funciones analíticas, siendo el caso más general las funciones de Borel.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS POR MATRICES ORTOGONALES
Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si sepuede) tales que
A = P D P-1
La matriz P se llama matriz de paso.
Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D.
Observación: Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos seobserva que si A es diagonalizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A.
El siguiente teorema establece cuando una matriz es diagonazable.
TEOREMA: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada porλ 1 0 … 0

0 λ2 0 … 0

0 0 λ3 … 0

D = . . . .

0 0 0 … λn
donde λ1, λ2, ….. ,λn son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces
D = C-1AC
Una matriz diremos que es ortogonal si su transpuestacoincide con su inversa.
P orotgonal <=> P-1 = Pt
Si P=(u1|u2|…|un) resulta que decir que P es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores {u1,u2,…,un} son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal....