Álgebra lineal y comunicación.




5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funcionesque preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos serásobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente lasdefiniremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Unatransformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por

Es lineal.







Entonces :


5.2 Núcleo e imagen de unatransformación lineal.
Transformaciones lineales: núcleo e imagen.
Teorema 1
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
v2, . . . , vn en V y todos losescalares a1, a2, . . . , an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V;mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.

Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,
w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que...