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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE PUERTO RICO
Facultad de Ciencias y Matemáticas
MATE 2330
Nombre: ____________________________
Fecha: ______________________________
Prof. María de los A. Medina
Capítulo11: Vectores y Geometría en el Espacio
Sec. 11.5: Líneas y Planos en el Espacio
Introducción: En esta sección escribiremos el conjunto de ecuaciones paramétricas que representan a una
línea en elespacio. También escribiremos la ecuación de un plano en el espacio y lo dibujaremos y
encontraremos distancias entre puntos, planos y líneas en el espacio.
Teorema: Una línea L paralela a un vector v =representada por las ecuaciones paramétricas:

a, b, c

y pasando por el punto P (x1 , y1, z1 ) está

x = x1 + at
€ y = y + bt
1
z = z + ct

1

€

Si resolvemos cada una de estas ecuaciones para elparámetro t éstas se pueden representar de la forma:
€ x − x1 = y − y1 = z − z1
a
b
c
Cuando se representan de esta manera se les llaman ecuaciones simétricas.
€
Ejemplo 1: Encuentre las ecuacionesparamétricas y las simétricas para la línea L que pasa por el punto
(1, − 2, 4) y que es paralela al vector v = 2, 4, − 4 .Dibuje la línea y el vector.

€

€

11.5 Líneas y Planos en el Espacio- Página1

Ejemplo 2: Encuentre las ecuaciones paramétricas y las simétricas para la línea L que pasa por los puntos
(2, 0, 2) y (1, 4, − 3) .

€

€

Teorema: Ecuación Estándar de un Plano en el Espacio: Elplano conteniendo el punto (x1, y1 , z1 )
y teniendo un vector normal n = a, b, c puede ser representado en forma estándar por la ecuación
a (x − x1 ) + b ( y − y1 ) + c (z − z1 ) = 0. Al reagruparlos términos de la ecuación en forma estándar se
obtiene la ecuación en forma general y ésta se representa por ax + by + cz + d = 0. €
€

€
Ejemplo 3: Encuentre la forma general de la ecuación del planoque contiene a los puntos (2,1,1) ,
€
(0, 4,1) y (−2,1, 4) .
€

€

€

11.5 Líneas y Planos en el Espacio- Página 2

Teorema: Dos planos distintos en el espacio o son paralelos o se intersecan en...