12314 FUNCIONES LOGAR TMICAS 13

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MATEMÁTICA NÚCLEO COMÚN

5to.

Colegio Stella Maris

FUNCIONES LOGARÍTMICAS
23=8

Consideremos la expresión

2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia de base 2 y exponente 3
Supongamos que de esa igualdad, tenemos el resultado y me falta alguno de los otros dos
números, ¿cómo podemos hallarlos?
x3=8 ⇒

Si en esa igualdad me falta la base:

x = ……….

Si de esa igualdad me falta elexponente: 2 x = 8 ⇒ x = ………..
log 2 8 = 3

se lee: logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3.

2

5 4 = 625 ⇔ log5 625 = 4

De la misma forma,
Ejercicio 1

1
 1
 1
  = ⇔ log1 / 3   = 2
9
3
9

y

Calcular, siempre que sea posible:
1

a) log 42

b) log2

1
8

c) log2 1

d)

log 1 9 e)

log 1 1

3

g) log8−2

f) log 81
1

3

h) log100000
10

3

i) log 2317
2317

j)

log88

12

log15

k)

log a b= x ⇔ a x = b

Definición

a ∈ R+ ; a ≠ 1 ; b ∈ R+

con

(estas condiciones se nombran habitualmente “condiciones de existencia”)
Ejercicio 2

Estudiar existencia de las siguientes expresiones:
( −3 x +1)

a ) log 5

Ejercicio 3

( x 2 −4)

( − x 2 + 6 x − 9)

b) log1/ 3

c ) log12

( x 2 −2x )

d ) log 2

( − x +5 )

+ log 4

Resolver en R:
x

3 x −1

a) 5 = 2

b) 2

=3

2
e) 2x −1 = 3

2
f) 3 x+ 2 = 5

c)

x
+1
2
3
=5

g) 7 2x = 0

d) 6 x + 3 = −1
h) 10 x + 10 x + 1 = 22

Ejercicio 4 Estudiar existencia y resolver en R:
a) log4 (5+x) = 3

b) log(3x

2

−x + 3 )

=2

(x
c) log 17

2

− 3x − 9)

=0

AMIES

2

Aplicación
Escala Richter
En la escala Richter, la magnitud R de la intensidad I de un sismo está dada por: R = log (I / I 0 ),
donde I 0 es cierta intensidad mínima.
(a) Si laintensidad de un sismo es 1000 I 0, encuentra R.
(b) Expresa I en términos de R e I 0.
Solución
(a)

R = log

(b) R = log

I
I0

I
I0

= log
⇒

1000 I 0
I0

I
= 10 R
I0

= log 1000 = 3 ;

R=3

⇒ I = I 0 . 10R

FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Las funciones de R+ en R del tipo
logarítmicas.

f(x) = log

a

x, con a ∈ R

+

y a ≠ 1, se llaman

Analizaremos cómo es el comportamiento de estas funciones, paradistintos valores de a.
Plantearemos en primer lugar para los casos a = 10 y a = 2
Ejercicio 5 Representar gráficamente: 1) f : f (x) = log ( x )
2) g : g(x) = log 2 (x )

Ejercicio 6:

(que significa

log10 (x )

)

Indicar, a partir de las gráficas, si es verdadero o falso:

1) Existe un único x tal que log(x ) = 4
2) Existe un único x tal que log(x ) = – 4
3) log (x) es positivo para todo xpositivo
4) Si log (x) es negativo, entonces 0 < x < 1
AMIES

3
5) log 0 = 1
6) log 1 = 0
7) Si m ≠ p entonces log (m) ≠ log (p)
8) Si log(m) = log(p) entonces m = p
En general, si a ∈R + , a ≠ 1, m ∈ R +, p ∈ R +
log a m = log a p ⇔ m = p
Ejercicio 7:
Resolver:

a)

log 6 (4x – 5) = log 6 (2x+1)

c) log 5 ( x2 – 1 ) = log 5 ( 4x + 4 )

Representaremos gráficamente f: f(x) = log3 x :
log5/2 x
f:

g:

h:j:

b) log(2x −8 ) = log(22 x −13 )
d) log 7 ( x2 – 3x ) – log 7 ( 2x – 4 ) = 0

g:g(x) = log1/2 x

h:h(x) = log1/3 x

j:j(x) =

Ejercicio 8:
A partir de los gráficos anteriores, indicar V o F:
1) log1/ 3 (x ) < 0 ⇔ x > 1
4) Si m > p ⇒ log 2 m > log 2 p

2) log5 / 2 (x ) < 0 ⇔ x > 1

3) log3 x ≥ 0 ∀x ∈ R +

5) Si m > p ⇒ log 1/3 m > log 1/3 p
Generalización:

Sea f : R + → R / f( x) = loga x ,
sia > 1, el gráfico de f es:

AMIES

4

si 0 < a < 1, el gráfico es:

Se deduce la siguiente propiedad
Si a > 1,

entonces:

Si 0 < a < 1 entonces

log a b < log

a

c ⇔ b < c

log a b < log a c ⇔ b > c

Ejercicio 9:
Resolver:

a) log

(4 x +1)
3

≤ log

( x + 2)
3

d) log 5/ 3 ( x 2 + 1) ≥ log 5/ 3 ( 3x – 1 )
1<0

b) log

( 3 x − 6)
1/ 2

> log

e) log 2 ( 4x2 – 14 x ) ≤ 3

( 2x + 2)
1/ 2

c)log

x2
5

≥ 0

f) log 1/ 4 ( x2 – x – 2 ) +

Otras propiedades de logaritmos:
Ejercicio 10:

1) Verificar que log 27 + log 100 = log 2700
2) Probaremos que: loga b + loga c = loga (b.c ) cualesquiera sean a, b y c en las condiciones de
existencia.
Dem: Sean log a b = x, log a c = y

y

log a (b c) = z

Queremos probar que x + y = z

logba = x ⇔ a x = b
⇒ b.c = a x .a y
⇔
b.c = a x + y 

x+y...