14Abr15P4 Controladores Proporcional Y Proporcional Integral Lagunas Ruiz





Objetivos.
Que el alumno se familiarice con la simulación de sistemas utilizando Simulink.
Que el alumno recuerde los cálculos para obtener el error en estado estable.
Que el alumno recuerde las características de los controladores proporcional, integral y diferencial.
INTRODUCCIÓN.
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidadde polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.
Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:
1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:
--- (Ec.1)





En donde loscoeficientes son cantidades reales. Suponemos que ; es decir, se elimina cualquier raíz cero.
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes dela ecuación estén presentes y tengan signo positivo.
3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1, b2, b3, …, c1, c2, c3, …, d1, d2, …, etc., se evalúan del modo siguiente:
----- (Ec.2)
----- (Ec.3)
----- (Ec.4)


----- (Ec.5)----- (Ec.6)
----- (Ec.7)


----- (Ec.8)
----- (Ec.9)


La evaluación continua hasta que todas las restantes son cero.
El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente paraque todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.
El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de transferenciadel sistema en bucle abierto 1+K·G(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte con el eje imaginario. Dichos puntos marcan el límite de estabilidad del sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como esevidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual nos indicará a partir de qué valores de K el sistema pasará de estable a inestable (ganancia K límite).
Representación de las raíces en el plano.
Representando las raíces de la ecuación característica en el plano complejo es posible deducir el comportamiento de unsistema según su posición:

Fig.1. Situación en el plano complejo de las raíces de la ecuación: a) Respuesta sobre amortiguada o críticamente amortiguada, b) Límite de estabilidad y c) Sistema inestable.
1. Si todas las raíces están en el semiplano negativo de s, el sistema es estable.
2. Si todas las raíces se encuentran en el eje real negativo (las raíces son números reales), el sistema está sobreamortiguado o críticamente amortiguado.
3. Cuanto más alejadas del origen de coordenadas estén las raíces situadas en el eje negativo, más rápida será la dinámica del sistema (menor será la constante de tiempo).
4. Las raíces más cercanas al eje imaginario dominarán la dinámica de la respuesta mientras que aquellas que estén más alejadas dejarán de influir en la respuesta rápidamente.
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