2 Distribucion muestral y el teorema del limite central

II. Distribución muestral y el teorema del límite central
2.1 Distribución muestral
En estadística, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puedeestimar el error para un tamaño de muestra dado.
2.2 Distribución muestral de la media
Una distribución muestral de medias o una distribución en el muestreo de la media se definen como el conjunto de todas las medias que se pueden calcular en todas las muestras posibles que se pueden extraer, con o sin reemplazo, de una determinada población. Para detectar las relaciones a que nos hemos referido,partiremos de un ejemplo con una población pequeña.
Media
Es el promedio aritmético de las medias del conjunto de datos; ya sea de la población o de la muestra.

También habremos de referirnos a la media como el valor esperado de X, y se denotará con E (X).
2.3 Teorema del límite central
Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n > 30, o cualquier tamañosi la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:

Consecuencias
1. Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.
2. Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.

3. Inferir la media de la población a partir de unamuestra.
Ejemplo: 
Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.
1. Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.



2. Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese más de 51 kg.



2.4 Distribución muestral para proporciones
Existen ocasiones enlas cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer lasmuestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadístico media.

III. Estimación puntual
3.1 Estimación puntual y por intervalos
Estimación puntual
Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de lapoblación. Al valor usado se le llama estimador.
La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra:

La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra:

La desviación típica de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra, aunque hay mejores estimadores:

Estimación porintervalos
A veces es conveniente obtener unos límites entre los cuales se encuentre el parámetro con un cierto nivel de confianza, en este caso hablamos de estimación por intervalos.

3.2 Propiedades de los estimadores puntuales
Propiedades de un estimador
• Insesgadez
• Eficiencia
• Error cuadrático medio
Propiedades de un estimador en muestras grandes
• Consistencia
• Insesgadez asintotica

3.3Estimación de intervalos de confianza para medias y diferencias de medias
El intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α, siendo X la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:

El error máximo de estimación es:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error.
Cuanto mayor sea el nivel de confianza,...