3 Inecuaciones

Capítulo III. Desigualdades

25 de octubre de 2014

1

Índice
1. Introducción

3

2. Preliminares
2.1. Tipos de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3

3. Ejercicios I

6

4. Operaciones con intervalos
4.1. Unión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Intersección de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

7
7
8

5. Ejercicios II

8

6. Desigualdades
6.1. Propiedades de las desigualdades . . . . . . . . . . . . .
6.2. Desigualdades de primer grado con una incognita . . . .
6.3. Desigualdades cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Desigualdades de polinomios de tercer grado o superior .
6.5. Desigualdades fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Ejercicios .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

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9
9
10
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15
16

1.

Introducción

El presente capítulo tiene como finalidad desarrollar en los estudiantes las habilidades
necesarias para comprender y resolver los contenidos referidos adesigualdades de primer
y segundo orden, así como las inecuaciones fraccionarias y de grado 3 o de orden superior.

2.

Preliminares

Intervalos en R
Los intervalos son subconjuntos numéricos de R que se definen a partir de las relaciones
de orden. Comúnmente el conjunto solución de una desigualdad se expresa en la notación
de intervalo.

2.1.

Tipos de intervalo

Sean a, b ∈ R, tal que, a < b; entonces,podemos decir:
1. Intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto denotado por ]a, b[ y definido
por ]a, b[:= {x, x ∈ R/a < x < b} y representado gráficamente por:

a

b

2. Intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto denotado por [a, b] y definido
por [a, b] := {x, x ∈ R/a ≤ x ≤ b} y representado gráficamente por:

a

b

3. Intervalo semiabierto de extremos a y b, al conjunto denotado por [a,b[ ó ]a, b]
y definido por
[a, b[:= {x, x ∈ R/a ≤ x < b}
]a, b] := {x, x ∈ R/a < x ≤ b}
y representado, respectivamente, gráficamente por:

a

b

a

b

Además, para a ∈ R, se definen
I [a, +∞[:= {x ∈ R/x ≥ a}
Representado gráficamente por:
3

a
II ]a, +∞[:= {x ∈ R/x > a}
Representado gráficamente por:

a
III ] − ∞, b] := {x ∈ R/x ≤ b}
Representado gráficamente por:

b
IV ] − ∞, b[:= {x ∈ R/x Representado gráficamente por:

b
V R =] − ∞, +∞[:= {x/x ∈ R}
Representado gráficamente por:

Ejemplo 1. Exprese en notación de intervalo y represente en la recta numérica el conjunto
{x, x ∈ R/ 12 ≤< x < 57 }
Solución.
S=

1 7
,
2 5

7
5

1
2

Ejemplo 2. Exprese en notación de intervalo y represente en la recta numérica el conjunto
{x, x ∈ R/ 13 < x ≤ 87 }
Solución.
S=

1 8
,
3 7

4

8
7

1
3Ejemplo 3. Exprese en notación de intervalo y represente en la recta numérica el conjunto
{x, x ∈ R/7 ≥ x ≥ 4}
Solución.
S = [4, 7]

7

4

Ejemplo 4. Exprese en notación de intervalo y represente en la recta numérica el conjunto
{x, x ∈ R/4 < x < 12}
Solución.
S = ]4, 12[

12

4

Ejemplo 5. Exprese en notación de intervalo y represente en la recta numérica el conjunto
{x, x ∈ R/4 < x}
Solución.
S= ]4, +∞[

4

Ejemplo 6. Exprese en notación de intervalo y represente en la recta numérica el conjunto
{x, x ∈ R/x < 11}
Solución.
S = ]−∞, 11[

11

5

Ejemplo 7. Exprese en notación de conjunto y represente en la recta numérica el intervalo
denotado por ]3, +∞[
Solución.
S = {x, x ∈ R/x > 3}

3

Ejemplo 8. Exprese en notación de conjunto y represente en la recta numérica el intervalo
denotadopor ]−∞, 7]
Solución.
S = {x, x ∈ R/x ≤ 7}

7

3.

Ejercicios I

Exprese en notación de intervalo los siguientes conjuntos
10
1
A = x, x ∈ R/ ≤ x ≤
8
3

A=

B = {x, x ∈ R/3 ≤ x < 7}

1 10
,
8 3

B = [3, 7[

1
C = x, x ∈ R/ ≤ x
3

C=

1
, +∞
3

Exprese en notación el intervalo denotado
D = ]−∞, 8[

D = {x, x ∈ R/x < 8}

E = ]−∞, 1]

E = {x, x ∈ R/x ≤ 1}

F =

1
, +∞
3

1
F = x, x ∈ R/ ≤ x
3
G =...

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