4b Inter s compuesto

Interés
Es la ganancia que se obtiene al invertir o prestar dinero.
I = f (P, t, i)
Se cuantifica:

I=P.t. i

El saldo, monto, capital al final de los “t” años (F, S, M)
F=P+I

01/03/15

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1

Intereses

I

Monto o
capital final: F
Capital
inicial

Capital
inicial

P

P
tiempo

transcurre tiempo: t


01/03/15

I=Pti
F=P+ I
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2

oInterés compuesto
s
a
p
Re

01/03/15

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3

F  P ( 1 i ) n
donde:
P = capital invertido, principal
i = tasa de interés anual
n = número de años

deben de estar expresadas en la
misma unidad de tiempo

F = saldo, monto, capital al final de los “n” años

01/03/15

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4

Ejemplo 1
Se invierten $ 2 000 a una tasa del 6% anual. Determinar el
valorde la inversión después de:
a) 2 años
b) 4 años
c) 10 años

Datos

n=2

n=4

n = 10

2
P = 2 000 F =2000(1+0.06)

F = 2 000(1+0.06)4

F = 2 000(1+0.06)10

i = 0,06

F = 2000(1,1236)

F = 2 000(1,262477) F = 2 000(1,79085)

F=?

F = 2 247,20

F = 2 524,95

01/03/15

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F = 3 581,70

5

Periodos de capitalización (PC)
Si el interés se capitaliza “k” veces al año, elaño quedará
dividido en “k” periodos de interés iguales, siendo la tasa
de interés de cada periodo: iPC = i / k.
En “n” años existirán “kn” periodos de capitalización;
luego, el monto acumulado “F” (saldo), al final de “n” años
será:

i

F P  1 
 k

01/03/15

kn

deben de estar en la misma
unidad de tiempo dada por
el periodo de capitalización

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6

K

01/03/15Periodo de capitalización

Veces por año

Semestral

2

Trimestral

4

Bimestral

6

Mensual

12

Quincenal

24

Diario

360

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7

Ejemplo 2
Un capital de $ 2 000 se invierte a una tasa del 6%
anual. Calcular el valor de la inversión después de
dos años, si el periodo de capitalización es:
a) Semestral
b) Trimestral
c) Mensual
d) Semestral después de 5 años01/03/15

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8

a) Semestral

F4 sem = 2 000(1+0.03)4
2 año

0
0

4 semestres

1

6%
isem 
 3%
2

F4 sem = 2 000(1,12550881)
F4 sem = 2 251,018

b) Trimestral
2 año

0
0

1

6%
itrim 
1.5%
4

01/03/15

2

3

8 trimestres

F8 trim = 2 000(1+0.015)8
F8 trim = 2 000(1,126492587)
F8 trim = 2 252,985

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9

c) Mensual

F24 mes = 2 000(1+0.005)240
0

1

…

3

2

11

2 año

F24 mes = 2 000(1,127159776)

24 meses

F24 mes = 2 254,32

6%
imens 
 0 . 5%
12

d) Semestral pero 5 años
F10 sem = 2 000(1+0.03)10
0
0

1

2

3

…

7

5 años

F10 sem = 2 000(1,343916379)

10 semestres

F10 sem = 2 687,833

6%
isem 
 3%
2
01/03/15

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10

Ejemplo 3
¿Qué capital se necesita para acumular $10 000, al cabo
de 20 años, auna tasa de interés del 10% anual
capitalizable semestralmente?
Datos
P=?
F = 10 000
n = 20 años
i = 10%
PC: semestral

01/03/15

0.10 

10 000 P 1 

2 


20( 2 )

P = 1 420,46

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11

Ejemplo 4
¿Qué monto se debería de invertir hoy al 6% anual
capitalizable trimestralmente para acumular 10 000 al
cabo de 50 años?
Datos
P=?
F = 10 000
n = 50
i = 6%
PC:trimestral

01/03/15

0.06 

10 000 P 1 

4 


50 ( 4 )

P = 509,09

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12

Ejemplo 5
¿Qué tasa de interés triplica el valor de una inversión al cabo
de 10 años?
Datos
i=?
P = P0
F = 3P0
n = 10 años

Solución
F = P (1 + i )n
3P0 = P0 (1 + i )10
3 = (1 + i )10
(3)1/10 = 1 + i
i=0,1161
i=11,61%

01/03/15

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13

Ejemplo 6
¿Después decuánto tiempo una inversión duplicará su valor,
si la tasa de interés es del 10% anual, si se capitaliza
trimestralmente?
Datos
n=?

2P0 = P0 (1 + 0,10/4)4n

P = P0

2 = (1,025 )4n
ln 2 = ln (1,025 )4n
ln 2 = 4n ln (1,025 )
n = ln 2 /4(ln 1,025)
n = 7,02 años

F = 2P0
i = 10 anual
PC = Trimest
01/03/15

Solución

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14

Interés compuesto

01/03/15

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