Acervo Ciencias Mate Limite Continuidad Y Derivadas

LÍMITES , CONTINUIDAD Y DERIVADAS
ÍNDICE
1. Concepto de límite
2. Propiedades de los límites
3. Definición de continuidad
4. Tipos de continuidad
5. Concepto de derivada
6. Tabla de derivadas
7. Crecimiento y decrecimiento
8. Máximos y mínimos
9. Concavidad y convexidad
10. Puntos de inflexión
11. Representación gráfica de funciones
Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y =x2 . Si x tiende a 2 a
qué valor se aproxima y :
1'8
1'9
1'99
1'999
x → 23'24
3'61
3'9601
3'996001
y→
x → 2+
y→

2'2
4'84

2'1
4'41

2'01
4'0401

2'001
4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores
de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :
lim− x 2 = 4 (límite lateral por la izquierda)
x →2

lim x 2 = 4

x →2+

(límitelateral por la derecha)

Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que
existe límite en ese punto y es :
lim x 2 = 4
x →2

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto .
Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0
es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f delos puntos x cuando éstos se
aproximan al valor de x0 .
Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si
es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x
suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x ≠ x0 .
Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia
de f(x) a les menor que cualquier valor ε por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/<ε.
Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0 " equivale a decir
que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x
a x0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/<ε , es decir , debe de existir un δ tal que /xx0/<δ .
Por lo tanto se dice que una función f(x)tiene límite l cuando x tiende a x0 , si para
cualquiera que sea el número ε se puede encontrar otro número δ tal que / f ( x ) − l / < ε
para todo x que verifique / x − x 0 / < δ

Utilizando la notación matemática :
lim f ( x ) = l ⇔ ∀ε ∃δ / si / x − x 0 / < δ
x →x 0

⇒ / f (x ) − l / < ε

lim f ( x ) = l ⇔ ∀ε(l) = (l − ε, l + ε) ∃ε * ( x 0 ) = ( x 0 − δ, x 0 + δ) / ∀x ∈ ε * ( x 0 ) f ( x ) ∈ ε(l)x →x 0

Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese
punto , incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite .
No obstante si f(x) está definida en x0 y f(x0) = l entonces se dice que la función es
continua en x0 .
Ejemplo : Veamos que lim 2 x = 6
x →3

Tomamos ε=0'1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0'1,
/f(x) - 6/<0'1 por lo tanto /2x-6/<0'1 , -0'1<2x-6<0'1 , 5'9<2x<6'1 , 2'95 3-0'05 Podríamos tomar un ε todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempre
encontraríamos un δ .
En general : /f(x) - 6/<ε por lo tanto /2x-6/<ε , -ε<2x-6<ε , 6-ε<2x<6+ε ,
3-ε/2 Límites infinitos en un punto (asíntota vertical): Se dice que lim f ( x ) = +∞ si para
x →x 0

cualquier k positivo se puede encontrar un δ tal que f(x)>k cuando /x-x0/<δ .
Se dice que lim f ( x ) = −∞ si para cualquier k positivo se puede encontrar un δ tal que
x →x 0

f(x)<-k cuando /x-x0/<δ .
Límites en el infinito (asíntota horizontal): Se dice que lim f ( x ) = l si paracualquier
x → +∞

ε se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/<ε para todo x>k .
Se dice que lim f ( x ) = l si para cualquier ε se puede encontrar un k positivo tal que
x → −∞

/f(x)-l/<ε para todo x<-k .
Límite infinito en el infinito : Se dice que lim f ( x ) = +∞ si para cualquier k positivo
x → +∞

se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x>H .
Se dice que lim f ( x )...

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