algebra booleana

Álgebra de BOOLE

Tema 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Definición formal del álgebra de Boole.
Leyes y reglas del álgebra de Boole.
Operaciones y expresiones booleanas.
Formas canónicas de las expresiones booleanas.
Expresiones booleanas, tablas de verdad y formas estándar.
Teoremas de DeMorgan.
Minimización lógica algebraica.
Minimización lógica mediante mapas de Karnaugh.
Mapa de Karnaugh decinco variables

Definición del Álgebra de BOOLE

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Definición del Álgebra de BOOLE

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Definición formal de operaciones básicas

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Leyes y Reglas del Algebra de BOOLE

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Teoremas de DeMORGAN
Primer teorema: el complemento de un producto de variables es igual a la
suma de loscomplementos de las variables.

Segundo teorema: el complemento de una suma de variables es igual al
producto de los complementos de las variables.

NOTA: Cada variable puede representar una combinación de variables (e.g. X puede ser = AB+C)

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Principio de dualidad I
A toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el
intercambio de losoperadores suma con los de producto, y de los 1s con
los 0s.

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Principio de dualidad II

(a)

X
Y

type 2

Z

(b)

X
Y

Z =X+Y

type 2

(c)

X
Y

type 2

Z =X•Y

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

LOW

LOW

LOW

LOW

HIGH

HIGH

HIGH

LOW

HIGH

HIGH

HIGH

0
1
0
1

0
1
1
1

1
1
0
0

1
0
1
0

1
0
0

HIGH

0
0
1
1

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0

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Principio de dualidad III
X1
X2X3

type 1

type 2

type 2
type 1

X4
type 2

X5

type 1

type 1

type 1

type 2
Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc.
Digital Design Principles and Practices, 3/e

Xn

X1′
X2′
X3′

type 1

F(X1, X2, ... , Xn)

type 2

type 2
type 1

X4′
X5′

type 2
type 1

Xn′

type 1

type 1

FD(X1′, X2′, ... , Xn′)

type 2
Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc.
Digital Design Principles and Practices, 3/eDr. Oscar Ruano - 2011-2012

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Operaciones y expresiones booleanas I
Mediante el Álgebra Booleana
buscamos
un
método
sistemático y versátil para la
implementación de circuitos
combinacionales.
El Álgebra Booleana utiliza
variables y operadores para
obtener expresiones lógicas
que representan un circuito
combinacional. Luego describe
una serie de teoremas que
utilizaremos para manipular lasexpresiones lógicas.

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Operaciones y expresiones booleanas II

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Operaciones y expresiones booleanas III
Ejemplo: Construcción de la Tabla de Verdad a partir
de la expresión booleana
Un circuito lógico puede describirse mediante una tabla de verdad.
Evaluar la expresión booleana para todas las posibles combinaciones de
valores de lasvariables de entrada
X
Y

Y′

X + Y′
(X + Y′ ) • Z

Z
F = ((X + Y′) • Z) + (X′ • Y • Z′)

X′
X′ • Y • Z′
Z′

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Operaciones y expresiones booleanas III

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Formas normalizadas de las expresiones
booleanas
Existen dos formas de representar expresiones booleanas:

Suma de Productos AND-OR

Producto de Sumas OR-AND

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Expresiones booleanas, tablas de verdad y
formas canónicas
Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de
miniterminos (minterms) o como producto de maxiterminos (maxterms) y a
estas formas se les dice que están en forma estándar o canónica (el conjunto
completo de variables del dominio está representado en cada término ).

F=ΣA,B,C (1, 4, 7) = A’B’C + AB’C’ + ABC

F= Π A,B,C (0,2, 3, 5, 6) = (A+B+C)(A+B’+C)(A+B’+C’)(A’+B+C’)(A’+B’+C)

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Operaciones y expresiones booleanas II

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Propiedad universal de las puertas NAND
Las puerta NAND es una puerta universal porque puede emplearse para
generar cualquier función lógica
inversor

AND

OR

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Propiedad universal de las puertas NOR...