Algebra linal

´ INTRODUCCION al ALGEBRA LINEAL
Kepler Ck Ikastegia 2005

Introducci´n al ´lgebra lineal o a

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Kepler Ck Ikastegia

´ Indice general
1. Espacios vectoriales 1.1. Definici´n y propiedades . . . . . . . . . . . o 1.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . 1.3. Base y dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4. Subespacios y espacios vectoriales cocientes 1.5. Intersecci´n ysuma de subespacios . . . . . o 1.6. Homomorfismos o aplicaciones lineales entre 1.7. Matriz asociada a una aplicaci´n lineal . . . o 5 5 6 6 9 11 11 12 13 13 13 21 21 21 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . espacios . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vectoriales . . . . . . .

. . . . . . .

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2. Matrices. Determinantes 2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . o 2.4. Funciones multilineales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2.5. Funci´n determinante. Propiedades de los determinantes . . . o 2.6. Desarrollo de un determinante por los elementos de una l´ ınea.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de Cramer

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Cap´ ıtulo 1

Espacios vectoriales
1.1.Definici´n y propiedades o

Definici´n 1.1 Dado un cuerpo K, se llama espacio vectorial sobre K a todo grupo abeliano o (V, +) en el que hay definida una Ley de Composici´n Externa o K × V −→ V (λ, v) −→ λv que cumple las siguientes propiedades: 1. (λ + µ)v = λv + µv 2. (λµ)v = λ(µv) 3. λ(v + w) = λv + λw 4. 1v = v ∀ λ, µ ∈ K ∀ v, w ∈ V

Observaci´n 1.1 Dado un cuerpo K, un espacio vectorialsobre K es un par formado por un o grupo abeliano (V, +) y un homomorfismo de anillos ϕ : K −→ End(V ) Los elementos de K se denominan escalares y los de V vectores. La operaci´n externa definida o en V se suele llamar tambi´n multiplicaci´n escalar. e o Se verifican las siguientes propiedades: 1. 0v = 0 2. λ0 = 0 3. (−1)v = −v ∀v ∈ V ∀λ ∈ K ∀v ∈ V

donde 0 designa, seg´n el contexto, el elementoneutro aditivo de K o el vector nulo de V , y 1 u es el elemento identidad de K; en efecto, 1. 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v =⇒ 0v = 0 2. λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 =⇒ λ0 = 0 3. v + (−v) = 1v + (−1)v = [1 + (−1)]v = 0v =⇒ (−1)v = −v 5

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1.2.

Dependencia e independencia lineal

Definici´n 1.2 Sean {v1 , . . . , vm } ⊂ V y {λ1 , . . . , λm } ⊂ K; un elemento de V de laforma o λ1 v1 + · · · + λm vm se denomina combinaci´n lineal en V de los elementos v1 , . . . , vm ; se dice que o los λi son los coeficientes de dicha combinaci´n lineal. o Definici´n 1.3 Sea S = {v1 , . . . , vm } ⊂ V un subconjunto finito no vac´ de vectores no nulos o ıo y distintos de V . Se dice que S es libre o que los vectores de S son linealmente independientes si el vector nulo no puedeescribirse como combinaci´n lineal de dichos vectores salvo trivialmente, o es decir, si λ1 v1 + · · · λm vm = 0 =⇒ λi = 0 ∀ i = 1, . . . , m Esto equivale a que ning´n vector de S puede escribirse como combinaci´n lineal de los restantes. u o En caso contrario se dice que S es ligado o que los vectores de S son linealmete dependientes. Definici´n 1.4 Sea Ø = T ⊂ V un subconjunto no vac´ de vectoresde V ; se dice que T es o ıo libre si cualquier subconjunto finito no vac´ S ⊂ T es libre. Si T no es libre se dice que T es ıo ligado. Definici´n 1.5 Sea Ø = S ⊂ V un subconjunto no vac´ de vectores de V ; se llama clausura o ıo lineal de S o subespacio engendrado por S al subconjunto de V formado por todas las combinaciones lineales de vectores de S, es decir,
p

L(S) =< S >= [S] =
i=1

λi...