Analisis De Redes

Análisis de Redes

1.- Concepto de Red
2.- Estudio matemático de una red
3.- Análisis de una red de canalización de aguas
4.- Análisis de una red eléctrica
 
Vamos a ver una aplicación de los sistemas de Ecuaciones lineales de vital importancia en muchos campos, tanto de la ciencia (por ejemplo el estudio de las redes eléctricas), como en la organización empresarial o en el urbanismo delas ciudades y pueblos. Se trata del Análisis de Redes.Una red está formada por nudos conectados por hilos. Sobre los hilos se indica el sentido del flujo.Fig. 1Una propiedad fundamental de las redes es que el flujo total que entra en un nudo es igual al flujo total que saleFíjate en la figura 1. Esta propiedad se plasma en que x1 = x2 + x3Fig. 2En la figura 2 tenemos que  x1 + x2 = x3 + x4 Veamosun ejemplo de redFig. 3Como ves, los nudos están numerados y los distintos hilos se identifican con las variablesx1, x2, x3, x4, x5. Algunos hilos tienen un cierto valor constante como 20 o 40,que tendrán un significado distinto dependiendo de lo que represente la red;puede ser el flujo de tráfico en una ciudad, o la cantidad de agua que pasa por unatubería, en esos casos los valores estaránmedidos en litros por segundo o miles de litros por horao nº de coches por hora. En el caso de representar el flujo de tráfico, los distintos hilosserán las calles de la ciudad y en el otro caso los hilos representan canalizaciones de agua. A continuación veremos como podemos tratar matemáticamente una red de este tipo. |
Tratamiento matemático de Redes

Para analizar matemáticamente una red,estudiamos los distintos nodos que aparecen en la misma y tenemos en cuenta que el flujo que entra en cada uno tiene que ser igual al flujo que sale. A partir de ahí, podemos plantear un sistema de Ecuaciones lineales. Vamos a resolver la red siguiente:  |

Nodo | Entran | Salen | Ecuación |
1 | 40 | x1+x2 | x1+x2=40 |
2 | x4 | x3+40 | x3+40=x4 |
3 | x2+x3 | 20+20 | x2+x3=40 |
4 | x1+20 |x5 | x1+20=x5 |
5 | x5+20 | x4 | x5+20=x4 |
 
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos planteado utilizando para ello lo que hemos aprendido en la sección dedicada a la resolución de Sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, primero expresamos el sistema en forma de matriz ampliada.  x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | c |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 40 |
0 | 0 | 1 | -1 | 0 | -40 |
0 | 1| 1 | 0 | 0 | 40 |
1 | 0 | 0 | 0 | -1 | -20 |
0 | 0 | 0 | -1 | 1 | -20 |
Entramos en la aplicación Home de la TI voyage200Elegimos F6 - 2:NewProb con lo cual borramos todas las variables almacenadas en memoriaPulsamos la tecla APPS para mostrar el menú de Aplicaciones instaladas en la Voyage200y elegimos Data/MatrixNos aparece un menú y elegimos la opción New...En Type elegimos Matrix, nocambiamos la carpeta donde se va a almacenarla matriz que creemos (main). Para guardar la matriz elegimos la variable a y la dimensionamosa= 5x6. (Ya lo he comentado antes, es un convenio llamar con letras mayúsculaslas matrices, pero en los modelos de calculadoras que trabajamos es más factibletrabajar las variables con letras minúsculas.Introducimos la matriz en la variable aCon 2ND+APPS pasamos ala pantalla HOMECon la orden rref(a) pasamos la matriz ampliadaa su forma escalar reducida(esta forma es la que se utiliza para resolverun sistema en el método de Gauss-Jordan)Como se ve, el sistema admite infinitas soluciones(ver capítulo dedicado a la resolución de Sistemas de Ecuaciones)Para expresar las infinitas soluciones utilizamos la representación paramétrica de las soluciones.Llamando ta x5, tenemos:x1 = t-20x2 = 60-tx3 = t-20x4 = 20+tx5 = t Variando el flujo que se hace pasar por el hilo x5 podemos controlar y ver como varía el flujo del restode hilos y nodos de la red. Ésto es de gran utilidad en los modernos sistemas de control de flujo de tráficoen las ciudades o en las canalizaciones del agua como veremos en los ejemplos siguientes. |
Una red de Tuberías

El agua...