Axioma

Axioma

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Axioma
En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien formada de un lenguaje formal que se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las demás fórmulas por ser "verdades evidentes" y porque permiten deducir a las demás fórmulas deseadas. Sin embargo, no todos los teóricos estánde acuerdo con esta aproximación. En matemática, un axioma no siempre es una verdad evidente, sino una fórmula bien formada utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

Etimología
La palabra axioma proviene del griego αξιωμα, que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) quesignifica "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.
A veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellos surge toda la teoría de la cual son axiomas.

Lógica
La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdaderapor sí misma (el axioma) e inferir sobre esta otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.

Axiomas lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulasque son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje. EjemploEn el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje: 1. 2. 3. Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si p, q, y r son variables proposicionales, entonces y son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarseque con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, , ,y

Axioma también puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero sonnecesarios más axiomas lógicos. Ejemplo: Sea un lenguaje de primer orden. Para cada variable , la fórmula es universalmente valida.

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Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con o un definir unuso puramente formal y sintáctico del símbolo , y de hecho, la lógica matemática lo hace. Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula orden , una variable y un término que es sustituible por en , la fórmula en un lenguaje de primer es válida se cumple

universalmente. En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que unacierta propiedad

para toda y que si es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar . De nuevo, estamos afirmando que la fórmula es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al...