Axiomas de calculo

1.2. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Los axiomas de R sobre la igualdad también son llamados axiomas de cuerpo de
los reales. Los agruparemos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los
siguientes:
Axioma 1. (Conmutatividad)
1
a) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su suma es un real y es independiente
del orden en que se usen los dos sumandos, es decir:
(∀x, y ∈ R)x + y = y + x.
b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es
independiente del orden en que se haga el producto, es decir:
(∀x, y ∈ R) x · y = y · x.
Axioma 2. (Asociatividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b) (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE que x+(y+z) = (x+z)+y.
Sin embargo esta´ultima igualdad es cierta, gracias a la combinación apropiada de
los dos axiomas anteriores.
En efecto:
x + (y + z) = x + (z + y) Por el axioma 1
= (x + z) + y Por el axioma 2.
Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que los operandos
de una triple suma, se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado.
Es por esta razón, que en general, cuando hay variossumandos, no se usan los
paréntesis, a no ser que sea estrictamente necesario.
Ejercicios 1.1: Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y
2.
1. (a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+a.
Aquí se han escrito todos los ordenamientos posibles de los reales a, b y c.
2. (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z).
El tercer axioma, que sigue,completa las propiedades de manipulación algebraica
de la suma y el producto.
Axioma 3. (Distributivita)
a) (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz
b) (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz
Observemos que en este tercer axioma, la propiedad (b) es una consecuencia de la
Propiedad (a) más los axiomas previos (más precisamente, el de conmutatividad
del producto). Es decir, este axioma es redundante ypor lo tanto no debiera ser
axioma. Sin embargo, llamaremos a ambas propiedades axiomas, pidiéndose utilizar
libremente, una o la otra, en las demostraciones.
2
Los axiomas 4 y 5 entregan la existencia de ciertos elementos especiales en R. Una
consecuencia directa de ellos es que el conjunto de los números reales es no vacío.
Sin embargo, como veremos más adelante, con estos axiomas elconjunto de los
números reales todavía podría tener muy pocos elementos.
Axioma 4a. (Existencia de elemento neutro para la suma)
En R existen ciertos números denotados por la letra e que no afectan el resultado
de la operación suma. Es decir
(∀x ∈ R) x + e = x.
Todo elemento e que cumpla esta propiedad se diría neutro para la suma.
Notemos que este axioma solo garantiza la existencia de elementosneutros para
la suma y no nos dice cuantos hay.
Si revisamos nuestros antiguos conocimientos de R, recordaremos que hay solo un
neutro. Esta ´ultima afirmación puede demostrarse usando los axiomas, y la llamaremos
un teorema (el primero del curso).
Teorema 1.1. El elemento neutro para la suma es ´único.
Observación: Una vez demostrado el teorema, podremos ponerle un nombre especial
al´único neutro aditivo. Lo llamaremos “cero” y lo denotaremos 0.
Veamos la demostración del teorema:
Demostración. Usando el axioma anterior, sabemos que existen elementos neutros.
Digamos que hemos encontrado uno y lo llamamos e1. Este real satisface la
propiedad
(∀x ∈ R) x + e1 = x. (1.1)
Pensemos que por algún otro camino hemos encontrado un neutro e2, pero no
sabemos si es o no el mismoanterior. Este neutro satisface la propiedad
(∀x ∈ R) x + e2 = x (1.2)
Para demostrar que el neutro es ´único, debemos probar que necesariamente e1 = e2,
y así sabremos que cada vez que encontremos un neutro, este será siempre el mismo.
Usando e2 en la igualdad (1.1) y e1 en la igualdad (1.2) obtenemos que
e2 + e1 = e2
e1 + e2 = e1.
Al mirar esta dos expresiones vemos que lo ´único que falta...