Axiomas

Los números reales (R) se definen por varios axiomas, clasificados entre cuerpo y orden:
Axiomas de cuerpo:
Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto. Seroperación interna implica que si “x” e “y” ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también. Se verifica que:
* Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y = y + x; x y = y x.
*Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).
* Existe distributividad del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z.
* Dos númerosreales x e y poseen un número z ς R // y = z + x. A “z” se le designa por “y – x”. El número real x – x = 0 se puede demostrar que es independiente de “x”, y al número real 0 – x = – x se le denominaopuesto de “x”.
* Existe un número real distinto de 0. Dados “x” e “y” ς R, siendo x ≠ 0, existe un único z ς R // y = z x. A “z” se le designa como “y / x”. El número real x / x = 1 se puededemostrar que es independiente de “x” si x ≠ 0. El número 1 / x se designa por “x^-1″, y se denomina inverso o recíproco de “x”. Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1.
Axiomas de orden:
Admitimos la existencia de unarelación “<” entre los números reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Se verifica:
* Dados dos números reales “x” e “y” se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: x <y, x > y ó x = y.
* Sean “x” e “y” dos números reales // x < y, se deduce que: para todo z ς R: x + z < y + z.
* Considerados dos números reales tales x” e “y” // x > 0 e y >0, entonces x y > 0.
* Considerados tres números reales “x”, “y” y “z” // x < y ∩ y < z, se cumple que: x < z. Propiedad transitiva de los números reales.
Teorema: Sean “a”  y “b” ς R,si Ε > 0 y si a + E ≤ b, entonces “a ≤ b”.
Recta real y concepto de intervalo:
Los números reales son a menudo representados geométricamente como puntos de una recta denominada recta real. Se...