Axiomas

AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío (R) dotado de las operaciones
llamadas adición y multiplicación denotados por ( + ) y ( . ), que satisface lossiguientes
axiomas que a continuación se especifican:
Sean tres números cualesquiera que pertenecen a los números reales: a, b, c Î R
Para la adición
1. Propiedad conmutativa
ü a + b = b + a ,ejemplo 2+1= 1+2 Þ 3=3.
2. Propiedad asociativa
ü (a +b)+ c = a + (b + c) , ejemplo (1+2)+3 = 1+(2+3) Þ 3+3 = 1+5 Þ 6 = 6.
3. Elemento neutro§
Existe un único 0, para cada a,
( En lenguajematemático)
$ 0 ( único ) Î R , "a ÎR , de modo que :
ü a + 0 = 0 + a = a
Ejemplo, 4+ 0 = 0+ 4 = 4
§ Para utilizar el lenguaje matemático debemos señalar que los símbolos ", $ son cuantificadores, elprimero significa “ para todo elemento” y el segundo “existe un elemento “
4. Elemento inverso o inverso aditivo
Para cada a, existe un único (-a),
( En lenguaje matemático)
"a ÎR, $ - a (opuesto) ÎR , de modo que :
ü a + (-a) = -a + a = 0
Ejemplo, 4+(-4) = - 4+ 4 = 0
Para la multiplicación
5. Propiedad conmutativa
ü a ×b = b× a, ejemplo 2.1= 1.2 Þ 2=2.
6. Propiedad asociativa
ü (a ×b)× c= a × (b× c) , ejemplo (1.2).3 = 1.(2.3) Þ 2.3 = 1.6 Þ 6 = 6.
7. Elemento neutro
Existe un único 1, para cada a,
( En lenguaje matemático)
$ 1 ( único ) Î R , "a Î R , de modo que :
ü a ×1 =1× a= a
Ejemplo, 4.1 = 1.4 = 4
8. Elemento inverso o inverso multiplicativo
Para cada a, existe un único ( a-1 ) ,
( En lenguaje matemático)
"a ÎR, excepto el cero, $ a-1 (inverso ) Î R , de modoque :
ü a. a-1 = a-1.a = 1 , con
a
a
-1 = 1
Ejemplo, 4.( 4-1 ) = 4 -1 . 4 = 4 1
4
1
× =
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Única propiedad que relaciona la adición con la multiplicación,
9. Propiedad distributiva,
ü a.(b +c) = a.b + a.c
Ejemplo:
2 (3+ 5) = 2´ 3+ 2´5 Þ2 ( 8 ) = 6 +10 Þ 16 = 16
Axiomas de orden:
10. Para cada a Î R, entonces puede ocurrir solamente uno de los siguientes casos:
a > 0 ; a < 0 ; a...