Binomio De Newton

Matemáticas I - 1o Bachillerato
Binomio de Newton
Pedro Castro Ortega
Departamento de Matemáticas




Matemáticas I - 1o BACHILLERATO
Binomio de Newton
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un
binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para
desarrollar la expresión:
(a +b)n ; n 2 N
Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera.
Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: (3x+5)n,(4xz+6y)n, (6a4b)n,
etcétera.
Veamos el desarrollo de algunas potencias de a + b:
 (a + b)0 = 1
 (a + b)1 = a + b
 Cuadrado de una suma: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
 Cubo deuna suma: (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 (a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
 Utilizando el ejemplo anterior, si a = 2x y b = 3: (2x+3)4 = (2x)4+4(2x)33+6(2x)232+4(2x)33+34 =
= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81
Observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguientesecuencia:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Observa además que las potencias del primer sumando del binomio, a, comienzan por n y en cada sumando
van disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumando
del binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a n.
La estructura en triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo dePascal o Triángulo de Tartaglia.
Observa que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos “unos”. A partir de la
tercera fila, el método de construcción es el siguiente:
 Primer número: 1.
 Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.
1
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Departamento de Matemáticas Último número: 1.
Observa también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen forman
una fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual
al antepenúltimo, etc.
De esta forma sería fácil hallar (a + b)5:
 La fila siguiente del triángulo sería: 1 5 10 10 5 1
 Los coeficientes, según lo comentadoanteriormente seguirían la siguiente secuencia:
a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 a1b4 a0b5;
o sea:
a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5
Por tanto:
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
La construcción del triángulo anterior no es así por capricho, o por casualidad. Sino que es consecuencia
de la definición de número combinatorio.
Para definir un número combinatorio es preciso saber con anterioridad lo quees el factorial de un
número, n!, que se define de la siguiente forma:
0! = 1; que se lee “cero factorial”:
n! = n
(n 1)
(n 2)


3
2
1; que se lee “n factorial”:
Por ejemplo:
 1! = 1
 3! = 3
2
1 = 6
 4! = 4
3
2
1 = 24
 6! = 6
5
4
3
2
1 = 720
 12! = 12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 = 479001600. Este último factorial se ha realizado conla
calculadora (¡busca la tecla que hace esta operación!).
Un número combinatorio es un número natural de la forma

n
m

, donde n > m y se lee “n sobre m”.
Para obtenerlo se aplica la siguiente fórmula:

n
m

=
n!
m!(n m)!
Veamos algunos ejemplos:
2
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0
0

=
0!0!(0 0)!
=
1
1
1
= 1,

1
0

=
1!
0!(1 0)!
=
1
1
1
= 1,

1
1

=
1!
1!(1 1)!
=
1
1
1
= 1


2
0

=
2!
0!(2 0)!
=
2
1
2
= 1,

2
1

=
2!
1!(2 1)!
=
2
1
1
= 2,

2
2

=
2!
2!(2 2)!
=
2
2
1
= 1


3
1

=
3!
1!(3 1)!
=
6
1
2
= 3,

3
2

=
3!
2!(3 2)!
=
6
2
1
= 3


4
2

=
4!...