Binomio De Newton

1.

Coeficientes binomiales y f´
ormula de Newton.

Proposici´
on 1.1 Sea X un conjunto con n elementos y Y un conjunto con k elementos
en donde k ≤ n. Entonces existen exactamente n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) funciones
inyectivas de Y en X.
Demostraci´
on: Concretamente pongamos Y = {y1 , ..., yk } para describir los elementos
de Y . Si f : Y → X es una funci´on inyectiva entonces existen nposibilidades de escogencia
para f (y1 ). Para f (y2 ) existen ahora solo n − 1 posibilidades de escogencia, para f (y3 )
existen solo n − 2 opciones y as´ı sucesivamente se ve que para f (yk ) solo quedar´an n −
k + 1 opciones de escogencia. Entonces al final para escoger globalmente a la funci´on f
tendremos n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) posibilidades.
Corolario 1.2 Si X es un conjunto conn elementos, entonces hay exactamente n! funciones biyectivas de X en X.
El siguiente teorema es de gran utilidad en el “arte”de contar:
Teorema 1.3 Si X es un conjunto con n elementos. Para k ≤ n, ponemos [X]k el conjunto de subconjuntos de X que tienen k elementos. Entonces [X]k tiene exactamente
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
k!
elementos.
Demostraci´
on: Sea A = f : {1, ..., k} → X | f esinyectiva . Sabemos que A tiene
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) elementos. Consideremos F : A → [X]r , f → f {1, ..., k} .
Para Z ∈ [X]r , cuantos f ∈ A existir´an tales que F (f ) = Z. La respuesta es que hay tantos
de esos f ∈ A como hay biyecciones de {1, ..., k} en {1, ..., k} pues: si se tiene una f0 ∈ A tal
que f0 {1, ..., k} = Z entonces cualquier otra f ∈ A tal que f {1, ..., k} = Z seobtiene a
partir de f0 al permutar los 1, ..., k. Ya vimos por el corolario anterior que hay exactamente
k! biyecciones de {1, ..., k} en {1, ..., k}. Como para cada Z ∈ [X]r hay extactamente k!
funciones asociadas a Z por medio de F , entonces la cantidad de elementos de A es k!
veces la cantidad de elementos de [X]r . Entonces [X]r tiene exactamente
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
k!
elementos.Notaci´
on 1.4 Observe que:
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) (n − k)!
=
·
k!
k!
(n − k)!
n!
=
.
k!(n − k)!

Definici´
on 1.5 Para k, n ∈ N con k ≤ n se define el n´
umero:
n
k

=

n!
.
k!(n − k)!

Es usual en la literatura encontrar que al s´ımbolo nk se le denota tambi´en por Cnk . En
realidad este n´
umero cuenta las posibles maneras de escoger k elementosdentro de (un
conjunto de) n elementos. Tambi´en son las posibles combinaciones de k elementos dentro
de n elementos, de ah´ı la letra C, por combinaciones.
La idea de la demostraci´on del teorema 1.3 fue ver que para una escogencia de k elementos
en un conjunto de n elementos, existen k! funciones inyectivas del conjunto de k elementos
en el conjunto de n elementos. Intuitivamente lo que esto quieredecir es que para el arreglo
de k elementos le corresponden k! arreglos, cada uno de ellos con un cierto “orden”. Lo que
se interpreta entonces es que un subconjunto de k elementos en un conjunto de n elementos
es un arreglo de elementos indistinguibles y una funci´on inyectiva de un conjunto de k
elementos en un conjunto de n elementos es un arreglo de elementos distinguibles. De esta
manera loque se tiene para k, n ∈ N con k ≤ n es que:
n
k

= la cantidad de arreglos indistinguibles de
k elementos dentro de n elementos

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
= la cantidad de arreglos distinguibles de k elementos
k!
dentro de n elementos.
Proposici´
on 1.6 Para k, n ∈ N con k ≤ n se tienen las siguientes propiedades:
(i)

n
0

=1y

n
n

(ii)

n
k

=

(iii)

n
n
+
k−1
k

= 1,

n
,
n−k
=

n+1.
k

Demostraci´
on: La propiedad (i) es evidente, lo u
´nico que hay que tener en cuenta es
que 0! = 1. La propiedad (ii) es un simple c´alculo:
n
n−k

n!
(n − k)! n − (n − k) !
n!
=
(n − k)!k!
n
=
.
k
=

2

La propiedad (iii) es otro c´alculo que no es tan complejo:
n
n
+
k−1
k

n!
n!
+
n − (k − 1) !(k − 1)! (n − k)!k!
n!
n!
+
(n + 1 − k)!(k − 1)! (n − k)!k!
k
n!
(n + 1 − k)
n!
·
+
·
k (n + 1...