Calculo De Derivadas

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C´lculo de derivadas a
• La derivada de una potencia f (x) = xn es f (x) = x es 1.) Ejemplos: f (x) = x5 , h(x) = ∂f = 5x4 , ∂x √ x = x1/2 , ∂f = nxn−1 . (En particular, la derivada de ∂x 1 =x−6 , x6 ∂g 6 = −6x−7 = − 7 , ∂x x

g(x) =

∂h 1 1 1 1 = x1/2−1 = x−1/2 = 1/2 = √ . ∂x 2 2 2 x 2x

• No hay que confundir esta regla con la que se aplica a las exponenciales, es decir, cuando ∂f lavariable es el exponente f (x) = ax . Entonces = ax ln a. Ejemplo: ∂x f (x, y) = xy , ∂f = yxy−1 , ∂x ∂f = xy ln x. ∂y

• La derivada de una funci´n que no depende de la variable respecto a la quederivamos (en o particular, la derivada de una funci´n constante) es 0. o Ejemplos: f (x) = 7, ∂f = 0, ∂x g(x, y) = y 8 , ∂g ∂g = 8y 7 , pero = 0. ∂y ∂x

• Para derivar una suma se deriva cadasumando. Ejemplo: f (x, y) = x7 + x3 + y 4 + 1 + 10 = x7 + x3 + y 4 + y −1 + 10, y ∂f 1 = 0 + 0 + 4y 3 − y −2 + 0 = 4y 3 − 2 . ∂y y

∂f = 7x6 + 3x2 + 0 + 0 + 0 = 7x6 + 3x2 , ∂x

• Para derivar unproducto de dos funciones f g se aplica la regla: ∂(f g) ∂f ∂g = g+f . ∂x ∂x ∂x Ejemplo: z }| { z }| { h(x, y) = (x5 + y 2 ) (x2 + 3),
f g

∂h = 5x4 (x2 + 3) + (x5 + y 2 )2x, ∂x

∂h = 2y(x2 + 3) + (x5+ y 2 ) · 0 = 2y(x2 + 3). ∂y

En particular, si en un producto f g uno de los factores (por ejemplo f ) no contiene la variable respecto a la que derivamos, la f´rmula se simplifica a o ∂(f g) ∂g =f∂x ∂x (pues el t´rmino que falta es nulo). En resumen: e

2 Derivar un t´rmino que no contiene a la variable (en particular, un n´mero) es e u eliminarlo si est´ sumando y dejarlo como est´ siest´ multiplicando. a a a Ejemplos: f (x, y) = 5x4 y 2 + 7x + 10, ∂f ∂f = 5 · 4x3 y 2 + 7 · 1 + 0 = 20x3 y 2 + 7, = 5x4 · 2y + 0 + 0 = 10x4 y. ∂x ∂y g(x, y) = (3x5 + 2x + 7)(y 2 + y) + 5y, ∂g ∂g = (15x4 +2)(y 2 + y), = (3x5 + 2x + 7)(2y + 1) + 5. ∂x ∂y • Reglas de derivaci´n de las funciones usuales (recogemos tambi´n las que hemos visto o e anteriormente): – – – – – Potencia (variable abajo):...