Derivadas- Calculo

Derivada de funciones compuestas

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS
La derivación de funciones simples es inmediata porque solo se necesita
aplicar la tabla de derivadas y realizar operacionesalgebraicas simples.
Cuando se trata de funciones compuestas la operación requiere dos
partes, en primer lugar se deriva la función principal o contenedora y en
segúndo lugar se deriva la funciónsecundaria o contenida, finalmente se
realiza la multiplicación.
Ejemplo:
Sea :

y= ( f g ) ( x ) = f g ( x )  ,entonces la derivada será


y ′=f ′ g ( x )  .g′ ( x )



Como se puedever en primer lugar se deriva f considerando que es la
función principal o contenedora de g(x), en esta circunstancia la función g(x)
funciona como si fuera la variable x en las derivadasinmediatas, a este resultado se lo multiplica por la derivada de g(x) como cualquier derivada inmediata.
Desarrollo del siguiente ejemplo:
f ( x ) = sen ( ln x )
f ( x ) = sen[g ( x )] y

g ( x ) = ln xderivando queda: f ′ ( x ) = cos ( g ( x ) )

g′ ( x ) =

y

1
x

1 cos ( ln x )
=
x
x
Otra estategia muy útil consiste en hacer el siguiente cambio de variable:
finalmente queda: y′=cos ( ln x ) .

g(x) = lnx = t entonces la función original f ( x ) = sen ( ln x ) se transforma
en f ( t ) = sen ( t )

y su derivada f ′ ( t ) = cos ( t ) .t ′

Este método es recomendable enla etapa de aprendizaje porque es muy
útil en los reemplazos en la integración por sustitución.
Otro ejemplo usando el cambio de vartiable g(x) = t:

sea f ( x ) = ln ( sen x )

haciendo elcambio de variable t = sen x,

entonces t ′=cosx
la función original f ( x ) = ln ( sen x ) se convierte en f ( t ) = ln ( t )
derivando queda: f ′ ( t ) =
y ′=

1
t ′ y finalmente reemplazandoquedará
t

1
cos x
.cos x =
senx
sen x

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1

Derivada de funciones compuestas

TABLA DE EJEMPLOS DE FUNCIONES COMPUESTAS SIMPLES...