CALCULO DIFERENCIAL

CALCULO DIFERENCIAL
TRABAJO DE INVESTIGACION

INGENIERO JOSE ANGEL CORTEZ CENICEROS

ALUMNO: LUIS FERNANDO BLANCHET TAMAYO


NUMERO DE CONTROL: 15130569
















Introducción
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a unpunto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos dela función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] = 
 
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] = 
TEMARIO

5.1.- RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

5.2.- TEOREMA DE ROLLE, TEROEMA DE LAGRANGE O TEOREMA DE VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

5.3.- FUNCION CCRECIENTE YDECRECIENTE, MAXIMOS Y MINIMOS. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS.

5.4.- ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES.

5.5.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS.












5.1.- RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a,f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta
y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3
f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1
El punto de tangencia es P(1, 2) La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1)
Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasapor el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela a la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).
La pendiente de la recta dada es m = 1
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente: y − 1 = x y = x +1
Recta normal: y − 1 = −xy = −x + 13




Recta normal a una curva en un punto
Dificultad: 
Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión.
Ejemplo
El siguiente ejemplo gráfico muestra la recta normal a la curva y=1x−1+1:

Dos funciones f(x),g(x) serán normales en un punto si, en el punto de corte a, se cumple que:
f′(a)⋅g′(a)=−1
Ejemplo
La siguiente tabla muestra variosvalores de pendientes de rectas perpendiculares entre si:
f′(a)
g′(a)
1
−1
2
−12
−3
13
38
−83
La expresión general de la recta normal a f(x) en el punto a es:
y−f(a)=−1f′(a)⋅(x−a)
Ejemplo
Resolver el ejemplo gráfico mostrado anteriormente, es decir, encontrar la recta normal a f(x)=1x−1+1 en el punto a=2:
a) Se encuentra el pendiente de la curva en el punto de corte:
f′(x)f′(2)==−1(x−1)2−1
Y elpendiente de la recta es:
m=−1f′(2)=1
b) Dicha recta pasará por
(a,f(a))=(2,2)
Finalmente, la ecuación de la recta normal es:
y−2y==1⋅(x−2)x
Lo que es consistente con la gráfica mostrada.
Encuentra la recta tangente a la función y=x√ en el punto x=0, así como su recta normal.
a) Se empieza buscando la derivada de la función y su valor en x=0.
Viendo que no existe, se calcula el límite acercándose...