Calculo Integral

Calculo Integral, Unidad 4

Nombre
Profesor: Jorge Iñiguez Montoya
Materia: Calculo Integral
Carrera:



















Definición de Serie
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los númerosnaturales, es decir, i=1,2,3....
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si  para algún.

Serie Finita
Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita

Serie infinita
Se le llama serie infinita, a los elementos ak, k=,1,2,3,…, se le llama a los términos de la serie; an se denominó general. Se representa en forma compacta como k=1∞ak, 0 bien ak , por conveniencia.
Definición: Si {un} es una sucesión y Sn =u1 + u2 ,… un  entonces {Sn} es una sucesión de sumas parcialesdenominada serie infinita y se denota por
n=1+∞un=u1   + u2  +  u3 ,… +un  +… Los números u1, u 2,u3 … un … son términos de la serie infinita.
EJEMPLO 1:
En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional  13   es en la realidad, una serie infinita.
310  +310 2 +3103 +k=1∞310k
* SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
Para cada serie infinita ∑ ak  existeuna sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3



Serie numérica y Convergencia, Prueba de la Razón (Criterio de D’Alembert) Y prueba de Raíz (Criterio de Cauchy)
El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma.
Elcriterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
Sea: 
Tal que:
 (o sea una sucesión de términos positivos) y
 tienda a cero cuando  tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
 con  tendiendo a infinito.
Así obtenemos  y se clasifica de la siguiente manera:
 la serie converge
 la seriediverge
 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.
En matemática, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad

donde  son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil enrelación con las series de potencias.
Sea C el límite de arriba, entonces el criterio de la raíz establece que:
Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
Si C > 1, entonces la serie diverge,
Si C = 1 y  de cierto  en adelante, entonces la serie diverge.
En otros casos el criterio no lleva a ninguna conclusión. Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros paralos que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, .
Serie de Potencias
Una serie de potencia alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

Llamamos serie de potencias a toda expresión de tipo:
Donde: es decir:
Es interesante saber cuales son los valores de x I R para que las respectivas series funcionales se conviertan en seriesnuméricas convergentes.

Series de Convergencia

Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).
La serie de término general  converge cuando la sucesión  de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,
.
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales
.
La naturaleza de...