Calculo Vectorial

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CALCULO VECTORIAL
David Lemus
Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE
Departamento de Ciencias Exactas
rirra77@hotmail.com

Abstract.-This document contains the vast majority of issues that are within the field of vector calculus, begin with a brief explanation of vectors, continuing along curves in three-dimensional space, vector
functions, multivariable functions, multiple integrals,vector fields, among others; hoping that this work is
to your liking.

´
INTRODUCCION

I.

El Calculo Vectorial es un campo de las matem´ticas el
a
cual se dedica al an´lisis real multivariable de vectores de 2
a
o m´s dimensiones. En si es un enfoque de la geometr´ difea
ıa
rencial como conjunto de f´rmulas y t´cnicas para solucionar
o
e
problemas muy utiles para la ingenier´ y laf´
´
ıa
ısica.
El siguiente documento es una breve referencia de los temas
que describen en si a este apasionante campo.

Producto punto:
u.v = (x1 , y1 , z1 ).(x2 , y2 , z2 ) = (x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2 )
Angulo entre dos vectores:
El angulo comprendido entre dos vectores u y v, esta dado
por:
cos(θ) =

u.¯
¯v
|u| . |v|

Proyecci´n de Vectores:
o
Es una magnitud escalar iguala la longitud del segmento que se encuentra entre las proyecciones del origen y del
extremo del vector sobre el eje.
La proyeccion de A sobre B viene dado por:
P royA B =

Empezaremos por puntualizar definiciones de cada tema
los cuales nos ayudaran a la compresion de esta materia.

II.
A.

Vectores

Magnitudes

u
¯
.¯
v
|u|

Producto Vectorial
Es una operacion binaria en unespacio tridimensional. El
resultado es un vector perpendicular a los vectores que se
multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.
Esta definido por:

Se denomina magnitud a todo ente abstracto que se puede
medir, por ejemplo: Longitudes, tiempos, masas, volumenes,
etcetera.

ux¯ =
¯ v

i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2

Existen magnitudes escalares y vectoriales.*Magnitudes Escalares
Se llaman magnitudes escalares a las cantidades que pueden describirse completamente enunciando su magnitud.
Ejemplo: tiempo, masa.
*Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son aquellas cantidades mas
complejas que implican direccion y sentido ademas de magnitud.
v=(2i+3j-7k)
Norma
Es la longitud o magnitud del vector
v =

x2 + y 2 + z 2

B.

RECTAS Y CURVAS ENEL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL

Definici´n:
o
Si x(t) e y(t) son funciones continuas de en un intervalo I, el
conjunto de pares(x,y), con x=x(t), y=y(t) se denomina curva
plana C. La variable t se llama par´metro y las ecuaciones:
a
x = g(t)
y = h(t)
Se denominan ecuaciones param´tricas de C. Diremos que
e
C es una curva suave si g(t) y h(t) son continuas y no se
anulan simult´neamente,excepto quiz´s en los extremos de
a
a
I.
Rectas en el espacio

Vector Unitario:
Es un vector de m´dulo igual a uno.
o
u=

v
¯
v

=1

Para determinar una recta en el espacio se necesita de
dos elementos: Un punto y un vector director. P (x0 , y0 , z0 ) y
v=(a,b,c).
Ecuacion vectorial de la recta:

Suma de vectores

Rectas en el espacio

u + v =(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )r: r0 + tv

Ecuaciones param´tricas de la recta:
e
(x,y,z)=(x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, c)

Ecuacion del plano(vector normal):
Para formar la siguiente ecuacion necesitamos conocer un
punto P0 (x0 , y0 , z0 ), y el vector normal n(a, b, c).

Ecuaciones sim´tricas de la recta:
e
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a
b
c

(a, b, c).(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0
Distancia de punto apunto:
D=

| ax1 + by1 + cz1 + d |
√
a2 + b2 + c2

Distancia de un punto a una recta en el espacio:
D=

P¯ 0 × u
P
¯
u
¯

Recta que pasa por dos puntos:
Al tener dos puntos en el espacio:
P (x0 , y0 , z0 ) y

C.

SUPERFICIES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Q(x1 , y1 , z1 )
Entonces podemos obtener las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones parametricas
y = y0 + (y1 − y0 )t
z =...