Casos de factorizacion

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Factorización
La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables.
Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba
una operación que debíamos realizar y encontrar el resultado.
Ahora, en la factorización se nos entrega el resultado y debemos encontrar cuál era la operación
que se realizó,es decir, tenemos que expresarlo como si apenas se fuera a desarrollar el producto
notable.
Factorización
Las reglas básicas para factorizar son:
i. Ley distributiva o factor común

x 2 ± 2 a x + a2 = ( x ± a )2

ii. Trinomio cuadrado perfecto
iii. Trinomio cuadrado no perfecto
iv. Diferencia de cuadrados

a b + a c = a (b + c)
Definición
1

x2 + ( a + b) x + a b = ( x + a)( x + b)x2 − a2 = ( x + a)( x − a)

v. Suma o diferencia de dos cubos

x3 ± a3 = ( x ± a)( x2

a x + a2 )

El hecho de reconocer cada uno de los casos de factorización nos ayudará a simplificar expresiones
a lo largo de todos los cursos de matemáticas que vienen más adelante.
En realidad, puedes ver que para cada caso de factorización hay un caso correspondiente en los
productos notables, demanera que con que memorices una fórmula, es suficiente para ambos
temas.
Factoriza:

2 x2 + 5 x

Ejemplo 1

• En este caso debemos utilizar la ley distributiva.
• Para esto identificamos el factor que se repite en todos los términos y lo escribimos a la
izquierda.
• Luego escribimos dentro de un paréntesis todos los términos que no se repiten...
• Aquí se repite la x:
2 x 2 + 5 x = x(2 x + 5)
• De manea que si multiplicamos obtenemos de nuevo: 2 x2 + 5 x.

En este primer ejemplo solamente teníamos un factor común. En algunos otros casos tendremos
dos o más, como en el siguiente ejemplo.
Factoriza:

12 x3 + 8 x2 − 20 x

Ejemplo 2

• Lo primero que debemos observar es que todos los coeficientes de los términos del trinomio
se pueden dividir exactamente entre 4.www.aprendematematicas.org.mx

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• Esto nos sugiere que factoricemos al número 4.
• Pero también podemos factorizar la literal x, porque aparece en todos los términos.
• Entonces, aplicando la ley distributiva obtenemos:
12 x3 + 8 x2 − 20 x = 4 x 3 x2 + 2 x − 5
• Para verificar que el resultado es correcto, puedes multiplicar y debes obtener el trinomio
dela izquierda de la igualdad.

Ejemplo 3

Factoriza:

3 x3 + 21 x4 b + 18 x5 − 9 x6

• En este ejemplo tenemos que todos los coeficientes son divisibles por 3.
• Así que vamos a factorizar a este número.
• Además, podemos factorizar, no solamente al número x, sino a x3 :
3 x3 + 21 x4 b + 18 x5 − 9 x6 = 3 x3 · 1 + 7 x b + 6 x2 − 3 x3
• Puedes verificar que la factorización es correctarealizando la multiplicación que queda indicada.

El primer paso que debes realizar cuando vas a factorizar una expresión es verificar si puedes
aplicar la ley distributiva.
Ejemplo 4

Factoriza

x2 + 12 x + 36

• En este caso vamos a ver si se trata de un trinomio cuadrado perfecto...
• Para eso, primero sacamos la mitad del coeficiente del término que contiene x, también
conocido como eltérmino lineal.
• La mitad de 12 es: 6
• Ahora calculamos el cuadrado de este número: 62 = 36.
• Como este resultado coincide con el término independiente (el que no contiene a x) del
trinomio que nos dieron, sí se trata de un trinomio cuadrado perfecto.
• Entonces,

x2 + 12 x + 36 = ( x + 6)2

• Para verificar que el resultado es correcto, podemos desarrollar el binomio al cuadrado.Ejemplo 5

Factoriza:

m4 − 6 m2 + 9

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• En este caso no tenemos un polinomio cuadrático, sino de grado cuatro.
• Sin embargo, podemos transformarlo a un trinomio cuadrado si utilizamos la siguiente
sustitución: x = m2 .
• Porque al aplicar las leyes de los exponentes obtenemos: x2 = m4 , y al sustituir en el trinomio...