Ch2 Desempe o Sistemas de Control v2013 II Parte1 2

Universidad Nacional de Colombia

Control v2013-II
2 – Desempeño de los Sistemas de Control

Prof. Victor Hugo Grisales
vhgrisalesp@unal.edu.co

Desempeño de Sistemas de Control
• Tratamiento matemático – Transf. Laplace y Modelos
• Paradigmas en control y concepto de Desempeño
• Linealización de Sistemas
• Respuesta Temporal de Sistemas
• Análisis de Error de estado estacionario
• Análisis deEstabilidad – Criterio de Routh-Hurwitz

1

Desempeño de Sistemas de Control
2.1. Tratamiento matemático – Transf. Laplace y Modelos
Objetivos de Aprendizaje
- Aplicar apropiadamente la transformada de Laplace y
su inversa como herramienta matemática para el análisis
de sistemas de control LTI
- Representar sistemas dinámicos bajo modelos de
Ecuación Diferencial, Función de transferencia y Espaciode Estado.

Representación de Sistemas
Sistema: un sistema es una combinación de componentes que
actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema
no necesariamente es físico. El concepto de sistema se aplica
a fenómenos abstractos y dinámicos, tales como los que se
encuentran en la economía. Por tanto, la palabra sistema debe
interpretarse como una implicación de sistemas físicos,biológicos, económicos y similares.

Variable de Entrada

(Causa)

Sistema

Modelo

Variable de Salida

(Efecto)
Ecuación Diferencial
Función de Transferencia
Representación de Estado

2

Tratamiento matemático
u(t)
Entrada

y(t)
Modelo

Transformada de
Laplace
Señales de entrada:
-

Salida

Y(s)

U(s)

• Ec. Diferencial
• Func. Transfer.
• Rep. de Estado

Transformada inversa
de Laplace
Fraccionesparciales:

Paso
Rampa
Parábola
Senoidal

- Raíces simples
- Raíces repetidas
- Factor cuadrático
irreducible

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace entrada tipo Paso

Caso general: U ( s) 

A
s

3

Transformada de Laplace
Transformada de Laplace entrada tipo Pulso

Transformada de Laplace entradas tipo Rampa y Parábola
u(t )  mt
U ( s) 

m
s2

u (t ) 



U ( s) 

2

t2


s3Transformada de Laplace
Transformada de Laplace entrada tipo Senoidal

4

Tabla de
Transformadas
de Laplace

[1] C. SMITH, A. CORRIPIO, Principles and Practice of
Automatic Process Control, 2 nd. Ed, Wiley, 1997.

Teoremas Transformada de Laplace
Teorema de Diferenciación Real

Teorema de Integración Real

Teorema de Valor Final

Teorema de Valor Inicial

5

Teoremas Transformada de Laplace
Teoremade Traslación Real

Los retardos de tiempo (time delays) son causados típicamente
por atrasos de transporte, fenómeno conocido como tiempo
muerto (dead time).

Solución de Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo

a2

d 2 y (t )
dy(t )
 a1
 a0 y(t )  bx(t )
2
dt
dt

Desarrollo

→

6

Solución de Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo

Considerando condiciones iniciales nulas

Y ( s) 

b
X ( s)
a2 s  a1s a0
2

Función de Transferencia

Solución de Ecuaciones Diferenciales
Y ( s) 

b
X ( s)
a2 s  a1s  a0
2

Considerando una entrada tipo Paso unitario, X(s)=1/s
Obtención de Transformada Inversa de Laplace

Inversión por Expansión en Fracciones Parciales

Para el caso las raíces pueden determinarse analíticamente:

7

Solución de Ecuaciones Diferenciales
Y ( s) 

b
X ( s)
a2 s  a1s  a0
2Y(s) puede ahora ser expresado de la forma

Aplicando transformada inversa de Laplace a cada término,
se obtiene:

Salida
(Respuesta)

Aporte de
la Raíces

Aporte de
la Entrada

Casos Típicos de Raíces
Ejemplo con X(s) paso unitario

Caso 1. Raíces diferentes
1
A
B
C
Y ( s) 
X ( s) 

  y(t )  Ae t  Be 2t  C
( s  1)(s  2)
s 1 s  2 s
Caso 2. Raíces repetidas
1
A
B
C
Y ( s)  2
X ( s) 

 y(t )  Ae t  Bte 2t  C
2
( s  2s  1)
s  1 ( s  1)
s
Caso 3. Raíces imaginarias
2
A
B
A
Y ( s)  2
X ( s)  2
  y(t )  sin 2t  B
( s  4)
( s  4) s
2
Caso 4. Raíces complejas conjugadas
Y ( s) 

2
A
C
A
X ( s) 
  y(t )  e t sin 2t  C
( s 2  2s  5)
( s  1) 2  4 s
2

8

Comportamientos Típicos de Respuesta

C. SMITH, A. CORRIPIO, Principles and Practice of Automatic...