Clase 2 Generalidades De N Meros Reales 2015

PPTCES018MT21-A15V1

MT-21

Clase

Generalidades de números reales

Aprendizajes esperados
 Identificar los conjuntos numéricos y sus características.
 Comprender los conjuntos numéricos en términos de los
problemas asociados a ellos.
 Reconocer las propiedades de los números reales.

Pregunta oficial PSU

14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre
I) divisible por 3.
II)divisible por 6.
III) divisible por 9.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)

solo I.
solo II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.

1. Conjuntos numéricos
2. Propiedades
3. Clasificación
4. Posición y valor absoluto

1. Conjuntos numéricos

Diagrama representativo

IN
IN0

Z

Q

Q*
R

IN  IN0  Z  Q  IR  C

II

C

1. Conjuntosnuméricos
• Naturales:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}

• Cardinales:

IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

• Enteros:

Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

• Racionales:

Q=

a
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
b

Todo número entero es racional
IN  IN0  Z  Q

• Irracionales:

Q* =

a: numerador y b:
denominador

.....  3,  2 , ,

Son aquellos números que NO se
pueden escribir como una fracción

,....

Q  Q* = 
Q  Q* = IR

1. Conjuntos numéricos
• Imaginarios:

II = {─ i, ─ 2i, 3i,…}
i: unidad imaginaria, cuyo valor es

• Complejos:

1

C = {─ 3 ─ i, ─ i, 176,…}
Conjunto universo que contiene a todos los números
reales e imaginarios.

Los números complejos son de la forma
z = a + b*i, con a y b reales.
• Si a = 0  z es un número imaginario.
• Si b = 0  z es un número real.

2.Propiedades
Si a, b y c son números reales, entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
Conmutatividad
a+b=b+a

a∙b=b∙a

Asociatividad
a + (b + c) = (a + b) + c

a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

Distributividad
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Elemento neutro aditivo
a+0=0+a=a

a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c

2. Propiedades
Elemento neutro multiplicativo
a∙1=1∙a=a
Elemento absorbente de la multiplicacióna∙0=0∙a=0
Inverso aditivo (opuesto)
El inverso aditivo (opuesto) de a es (– a)
Inverso multiplicativo (recíproco)

1
Si a ≠ 0, el inverso multiplicativo (recíproco) de a es
a

3. Clasificación
Paridad e imparidad
• Números pares

Números de la forma 2n, con n perteneciente a
ℤ.{.., – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}

• Números impares Números de la forma 2n+1, con n perteneciente a
ℤ
{.., – 5, – 3, – 1, 1,3, 5,…}

Múltiplos
Los múltiplos de un número entero son aquellos que se obtienen al
multiplicarlo por algún otro número entero.

Ejemplo:
Múltiplos de 7: {…, ─14 , ─ 7, 0, 7, 14, 21, …}
Múltiplos de 15: {…, ─ 45, ─ 30, ─ 15, 0, 15, 30, 45, …}

3. Clasificación
Divisores
Los divisores de un número entero son aquellos números enteros que
lo dividen exactamente (división con resto cero).

Ejemplo:sores de 6: {─ 6, ─ 3, ─ 2, ─ 1, 1, 2, 3, 6}

sores de 24: {─ 24, ─ 12, ─ 8, ─ 6, ─ 4, ─ 3, ─ 2, ─ 1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Números primos
Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí
mismos (solo tienen 2 divisores).
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…}.
El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.

3. Clasificación
Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo comúnmúltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales,
corresponde al menor de los múltiplos positivos que tienen en común.
El m.c.m. entre 2, 4 y 6 se puede obtener a través del siguiente método:
Se divide cada número por
números primos hasta que en
cada columna quede 1. El
producto de ellos corresponde al
m.c.m. entre 2, 4 y 6.

2

4 6

2

1

2 3

2

1

3 3
1

m.c.m. = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

3.Clasificación
Máximo común divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números naturales corresponde
al mayor de los divisores positivos que tienen en común.
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente
método:
Se divide por números primos que
sean divisores comunes de los
números, hasta que ya no se pueda
dividir a todos en forma simultánea. El
producto entre ellos...