Conicas

Conicas
Elementos de las cónicas:
Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas: Las hojas son las dos partes en las que elvértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Elipse

La elipse es la sección producida en una superficiecónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
     α < β <90º
La elipse es una curva cerrada.
Circunferencia
 
La CIRCUNFERENCIA es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
      β = 90º
La circunferencia es un caso particular de elipse.
Parábola
 
La PARÁBOLA es la secciónproducida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
     α = β
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
Hipérbola
 
La HIPÉRBOLA es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las doshojas de la superficie cónica.
     α > β
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.
Ecuación de la circunferencia
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
     
     
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:
     

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Ejemplos 
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.



2. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallarel centro y el radio.





3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación  por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:



Ecuación de la circunferencia II
Para que una expresión del tipo:  sea una circunferencia debe cumplir que:
1 Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos unmismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.
2 No tenga término en xy.
3 
Ejemplo:
Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
1 Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4: 
2 No tiene término en xy.
3 
Es unacircunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.


Intersección de una cónica y una recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.
En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discrimínante, , las siguientes soluciones:
1 Si Δ > 0
Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.2 Si Δ = 0
Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3 Si Δ < 0
Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

Ejemplo:
Calcula la posición relativa de la circunferencia  y la recta .















Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
 

Elementos de la elipse:
Focos: Son los puntos fijos...