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LOGICA CUANTIFICACIONAL : CUANTIFICADORES
Sea (A, P(x)) una proposición abierta. Un problema interesante es averiguar para cuantos elementos de A, P(x) es verdadera; estos es cuantificar el dominio de verdad DV(A, P(x)). Entre las posibilidades que existen tenemos:
Para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera
Para ningún elemento x de A, P(x) es verdadera
Para todos los elementos xde A, P(x) es verdadera
Para un solo elemento x de A, P(x) es verdadera
Ejemplo Sea A =0, 1, 2, 3, 4 y
P(x): x2 > 5; para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera
Q(x): x < 0; para ningún elemento x de A, Q(x) es verdadera
R(x): x  0; para todos los elementos x de A, R(x) es verdadera
S(x): x2 = 9; para un solo elemento x de A, S(x) es verdadera
Observa quela redacción de la segunda proposición puede ser modificada de tal manera que resulte del tercer tipo. Esto es, la segunda proposición puede ser redactada: para todos los elementos x de A, P(x) es verdadera. De todo esto resulta que basta estudiar los términos al menos uno; todos y uno solo. Estos términos se denominan cuantificadores:
Definición El cuantificador existencial, al menos uno, y sedenota con el símbolo . Dada una función proposicional (A, P(x)) para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera se escribe ( xA) (P(x)) que también puede significar: Existe un elemento x de A tal que P(x); Para algún elemento x de A, P(x); P(x), para algún elemento x de A.
Podríamos preguntarnos: dada una función proposicional (A, P(x)) ¿cuándo es verdadera la proposición ( xA)(P(x)).La respuesta es sencilla: cuando para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera. Esto es cuando DV(A, P(x)) es un conjunto no vacío. Luego será falsa cuando DV(A, P(x)) no tiene elementos, es decir, es un conjunto vacío.
Ejemplo Decide cual de las siguientes proposiciones es verdadera.
( x IR)(x2 > 0) ; verdadera ya que 3 es un número real tal que 32=9 > 0
( xZ )( x2 < 0); falsa yaque el cuadrado de todo numero entero es no negativo
Supongamos que A es un conjunto finito tal que A =  a1,a2,....,an ; nótese que : ( xA)(P(x))P(a1) P(a2)....P(a n)
Esto se debe a que( xA)(P(x)) es verdadera si y solo si al menos una de las proposiciones P(a1), P(a2),....P(a n) es verdadera y esto ocurre si y solo si P(a1) P(a2)....P(a n) es verdadera.Definición El cuantificador solo uno se denomina cuantificador existencial estricto y se representa por!
La proposición para un solo elemento de A, P(x) es verdadera, se escribe (!xA)(P(x)) y también se puede leer como existe un único elemento x de A tal que P(x); para uno y solo un elemento de A, P(x); P(x), para un solo elemento x de A.
Esta proposición es verdadera cuando DV(A, P(x)) es unconjunto unitario (tiene un solo elemento)
Definición El cuantificador todos se denomina cuantificador universal y se representa por 
La proposición para todo elemento de A, P(x) es verdadera, se escribe (xA) (P(x)) y también se puede leer como para cada elemento x de A, P(x); P(x), para todo elemento x de A.
Esta proposición es cierta cuando apara todos los elementos del DV(A, P(x)) esverdadera, esto es cuando DV(A, P(x))=A; luego será falsa cuando DV(A, P(x))A.
Supongamos que A es un conjunto finito tal que A =  a1,a2,....,an ; nótese que : (xA)(P(x))P(a1)P(a2) ....P(a n)
Esto se debe a que(xA)(P(x)) es verdadera si todas las proposiciones P(a1), P(a2),..P(a n) son verdadera y esto ocurre si y solo si P(a1)  P(a2) ....P(a n) es verdadera.Ejemplo Decide cual de las siguientes proposiciones son verdaderas:
(n IN)(n2n) Verdadera. El cuadrado de todo natural n es mayor o igual a n
(xIR)(x= x) Falsa. Tenemos a-2  IR tal que -2= 2  2
(yZ)(y2 + y>0) Falsa. Tenemos a-1  IR tal que (-1)2 + (-1)= 1+(-1)=0
Definición La negación de la proposición existe al menos un elemento x de A tal que, para todos los elementos...