Conjuntos

CONJUNTOS, RELACIONES,
FUNCIONES Y LÓGICA
Fundamentos de la Matemática − 2013

Conjuntos
“Cuando decimos: ‘un elemento pertenece a un conjunto’, estamos utilizando nada menos que tres
conceptos primitivos básicos de nuestra teoría: elemento, conjunto y pertenencia.”1
Para indicar que b es un elemento de un conjunto A, se escribe b ∈A, que se lee «b pertenece a
A». Si por el contrario b noes elemento de A, escribimos b ∉A, que se lee «b no pertenece a A».
Si bien conjunto es un concepto primitivo, cada conjunto particular se puede definir por
extensión (nombrando cada uno de sus elementos) o por comprensión (dando una propiedad que
cumplen todos los elementos del conjunto y solo ellos).
1) ¿Puede escribirse cualquier conjunto por extensión? En caso negativo dar un ejemplo.
2)Sea A = {x / x ∈ ℕ, 3 < x ≤ 10}
i) Escribe el conjunto A por extensión.
ii) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
9
1∈A
4∉A
∈A
2
3,5 ∈ A
10 ∈ A
3∈A
3) Escribe por comprensión los siguientes conjuntos:
i) A = {Brasil, Argentina}
ii) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
iii) C = { 2, − 2 }
4) Escribe por extensión los siguientes conjuntos:
i) D = {x / x = 3n, n ∈ ℕ, 5 ≤n ≤ 8}

1
ii) E = {x ∈ ℚ / (x 2 − )(x 2 − 2) = 0 }
9

Igualdad de conjuntos
5) Completa con

≠o=:
{2, −1, 5} ........ {x ∈ ℝ / (x + 1)(x − 2)(x − 5) = 0}
[2, 3] ........ {x ∈ ℝ / 2 < x ≤ 3}

{x ∈ ℝ / (x −

1

1
1
)(x + 9) ≤ 0} ......... [−9, ]
2
2

Osin, L. (1975). Introducción al análisis matemático. Buenos Aires: Editorial Kapelusz. (p. 3)

Profa. Mónica Olave – Profa.Cristina Ochoviet – Prof. Gustavo Franco
También colaboró en la elaboración de este material: Profa. Ana Tosetti

Conjunto, Relaciones, Funciones y Lógica
Definición
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Simbólicamente: A = B ⇔ ∀x, ((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))
«A = B» (1) y «∀x, ((x ∈ A → x ∈ B)∧ (x ∈ B → x ∈ A))» (2), son lo que se denominan

proposiciones. Esdecir, oraciones que son verdaderas (V) o falsas (F), pero no ambas cosas a la
vez. Si una proposición es verdadera, diremos que su valor de verdad es V, y si es falsa diremos
que su valor de verdad es F.
Las proposiciones pueden clasificarse en simples o compuestas. Las proposiciones compuestas
están formadas por proposiciones simples. Por ejemplo, una proposición simple sería “Pablo lee elQuijote” y en cambio una proposición compuesta podría ser “Pablo lee el Quijote y Cien años de
soledad”. A las proposiciones las representaremos utilizando letras minúsculas de nuestro
alfabeto: p, q, r,…
Las proposiciones (1) y (2) se llaman equivalentes. Dos proposiciones p y q son equivalentes, y
notaremos p ⇔ q (y se lee: p si, y solo si, q), cuando tienen el mismo valor de verdad.
En laproposición (2) aparece el llamado cuantificador universal (∀), y las operaciones básicas:

conjunción (∧) e implicación (→). Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p ∧ q, que se lee
«p y q», se la denomina conjunción lógica de p y q. Si p y q son dos proposiciones, a la proposición
p → q, que se lee «p implica q», se la denomina condicional o implicación lógica de lasproposiciones p y q (en ese orden). También se dice que p es el antecedente del condicional y que
q, es el consecuente.
Las definiciones de estas operaciones vienen dadas por las siguientes tablas, que nos permiten
determinar el valor de verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman:

p

q

p∧q

p

q

p→q

V
F
V
F

V
V
F
FV
F
F
F

V
F
V
F

V
V
F
F

V
V
F
V

Observando la tabla vemos que la proposición p ∧ q es verdadera únicamente cuando p y q son
verdaderas, lo que está de acuerdo con el uso corriente de la conjunción «y»2.
Se podría pensar que carece de sentido que la proposición «p → q» sea verdadera cuando p y q
son falsas, pero consideremos la siguiente proposición matemática: ∀n, n...