Continuidad Derivabilidad

Continuidad. Derivabilidad.

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

1.- CONTINUIDAD
1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO
Decimos que f es continua en a si:

Lim f ( x) = f (a)

x →a

Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:

1º ∃f (a )

a ∈ Df

2º ∃ Lim f ( x ) (los límites laterales tienen que ser iguales, pero no ∞)
x →a

3º Lim f ( x ) = f (a )
x →a

a

Discontinuidad evitable
a ∉ Dfa

Discontinuidad de salto infinito
lim f ( x) = ∞
x→a

a

Discontinuidad evitable
punto desplazado

a
Discontinuidad de salto finito
No ∃ lim f ( x)
x→a

1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO
Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese
intervalo
Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y
en b por la izquierda
•Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas,
irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la
continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio.
• El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:

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el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de
definición
o Elestudio de la continuidad en los puntos de empalme de los
intervalos de definición

o

EJERCICIOS:
a) Funciones racionales.
1.- Estudia la continuidad de: y =

x 3 − 2x 2 + x − 2
x2 − x − 2

;

y=

x 3 − 2x 2
x2 − x − 2

b) Funciones a trozos.
 2x
si x < 1

2.- Representa, estudia la continuidad f(x) =  2
si 1 ≤ x ≤ 2
− x 2 + 4 x si x > 2

y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función3.- Estudia la continuidad y representa las funciones:
x 2 + 2x + 1
si x < −1

a) f(x) =  2 x + 2
si − 1 ≤ x ≤ 2
2
 − x + 8x
si x > 2



ex
si x ≤ 0

b) f(x) =  1
si 0 < x < 3
2
− x + 3x + 2 si x ≥ 3


4.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:
 x + 1 si x ≤ 2
f (x ) = 
k − x si x > 2

5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientesfunciones sea
continua:
x 4 −1
si x ≠ 1

x
−
1
a) f(x) = 

 k si x = 1

x 2 −1
si x < 1

x
−
1
b) f(x) = 

 k si x ≥ 1

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6.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los
distintos valores del parámetro a:

7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea continua:
x 2 + ax;
x ≤ −1

f(x)= b;
−1 < x <3
 2 x + 4;
x≥3

8.- Representa, estudia la continuidad y halla los límites cuando x → +∞ y
x → −∞ de la función

si x < 0
 1

f(x) = x + 1
si 0 < x < 1
 x 2 − 2x si 1 ≤ x


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2.- DERIVABILIDAD
2.1

TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente
incremental:
TVM [a , b ] =

f ( b ) −f (a )
b−a

Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones.
a) f(x) = x2
b) f(x) = 3 x
1
c) f(x )=
x−2
2.2

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN
INSTANTÁNEA
La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un
número que se representa por f ' (a), y que se define como:
f (a + h ) − f (a )
f ( x ) − f (a )
= Lim
f '(a ) = TVI(a ) = Limh →0
x →a
h
x−a
Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones
en los puntos que se indican:
a) f(x)=x2 en x = - 1
b) f(x)= 3 x en x =0
1
en x =3
c) f(x)=
x−2

2.3

DERIVADAS LATERALES

Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese
límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos).Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales,
por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de
semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas).
En la gráfica de la figura existen las derivadas
laterales en a, pero no coinciden las semitangentes
laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no...