DEFINICIÓN DE FRACTAL

DEFINICIÓN DE FRACTAL
El término fractal procede del adjetivo latino fractus que significa interrumpido, irregular o fraccionario.
Un fractal es una figura plana o espacial que está compuesta por infinitos elementos.
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático BenoîtMandelbrot en 1975. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensiónfractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

El  Árbol de Pitágoras  es un plano fractal construido a partir de cuadrados inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942. Lleva el nombre del matemático griego llamado Pitágoras ya que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración tradicional utilizado para representarel teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L. Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.


CARACTERÍSTICA DE UN FRACTAL
Autosimilitud
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructuraque el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
Cuasiautosimilitud:exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
Autosimilitud estadística. Es el tipo másdébil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.
Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, nonos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:
La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajasde una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa, nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la dedimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Definición por algoritmos recursivos
Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:
Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski,...