Demostracion de minimos cuadrados

Demostración de Fórmulas de Regresión Lineal
Aproximación por rectas que pasan por el origen

A continuación, efectuaremos el cálculo de la pendiente de la recta que pasa por el
origen que mejorse aproxima a un conjunto de valores (X1,Y1);(X2,Y2);… (Xn,Yn)
experimentales.

Podemos expresar la relación lineal entre ambas magnitudes de la siguiente forma:

Y = mx

En donde m es lapendiente de la recta, o sea, el valor que deseamos hallar.
Cuando tratemos datos provenientes de una experiencia, debido a los errores experimentales, generalmente los datos experimentales nosatisfacerán exactamente
dicha ecuación, sino que estarán próximos a la recta, pero no perfectamente alineados.
Es decir la distancia de cada punto del gráfico a la recta, calculado como f(m) = m x − y
no seráexactamente cero
Y


Y = mx

f(m) = m x − y

Y1
X1
X

La suma de las distancia de cada punto del gráfico a la recta elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca está larecta de los datos experimentales, llamada desviación cuadrática de los puntos respecto a la recta, estará dada entonces por la siguiente expresión:

f (m) = ∑ (Y-Y)2
f (m) = ∑ (Y-mX)2


∂f∂m= ∑ 2 ( y – mx ) ( 0 – x )
∂f∂m = ∑ -2x ( y – mx )
∂f∂m = -2 ∑xy + 2 m ∑x2
Lo que deseamos es obtener el valor de m que minimiza dicha función. Para lograr dicho objetivo, debemos imponer lasiguiente condición de extremo:

∂f∂m = 0

Así obtenemos:

0 = -2 ∑xy + 2 m ∑x2

∑ xy∑x2 = m

Aproximación por rectas que no necesariamente pasan por el origen

Calculemos ahora la mejoraproximación de un conjunto de valores experimentales
(x1,y1);( x2,y2)… (xn,yn, ), por una recta general, que no necesariamente pase por el
origen. Podemos expresar la relación entre ambas magnitudesde la siguiente forma:

y = mx + b

En donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y ,
o sea, los valores que deseamos hallar

X1
Y
X

Y = mx + b...