Diagonalizacion de matrices

Tema 5: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
La intención en este tema es, dada una matriz cuadrada, ver si existe otra matriz semejante a ella que sea diagonal (recordemos que dos matrices cuadradas de orden n, A y D, se dice que son semejantes cuando existe otra matriz cuadrada de orden n, P , invertible y tal que A = P DP −1 ). El problema puede enfocarse desde el punto de vista de endomorfismos: dadoun endomorfismo f de K n se trata de ver si existe una base del espacio respecto de la cual la matriz asociada sea diagonal. Realmente ambos problemas son equivalentes, pues en primer lugar dado f : Rn → Rn podemos tomar A = MB (f ) la matriz asociada a cierta base B, y dada A podemos tomar f de modo que A = MB (f ) (ver Tema 3: Aplicaciones lineales). Entonces, puede comprobarse que una matriz essemejante a A si y sólo si va asociada a f respecto de alguna base de Rn .

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Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz cuadrada de orden n, λ un escalar del cuerpo y v un vector-columna no nulo del espacio vectorial Rn . Si se cumple que Av = λv entonces se dirá que λ es un valor propio (o autovalor) de A y que v es un vector propio (o autovector) de A. Es más se dirá que λ esun valor propio de A asociado al vector propio v, y que v es un vector propio de A asociado al valor propio λ. Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial V , λ un escalar del cuerpo y v un vector no nulo del espacio vectorial. Si se cumple que f (v) = λv entonces se dirá que λ es un valor propio (o autovalor) de f y que v es un vector propio (o autovector) de f . Es más se dirá que λ esun valor propio de f asociado al vector propio v, y que v es un vector propio de f asociado al valor propio λ. En las siguientes propiedades estaremos refiriéndonos a valores o vectores propios indistintamente para matrices o endomorfismos. Observación 1.1 1. Observemos que mientras un vector propio debe ser no nulo (el vector 0 no se considera vector propio) un valor propio sí puede ser nulo (elescalar 0 sí puede ser valor propio). 2. Todo vector propio va asociado a un único valor propio (se dirá que es el valor propio asociado a ese vector propio). 3. Todo múltiplo no nulo de un vector propio es también un vector propio y además va asociado al mismo valor propio. Ã ! Ã ! 1 2 3 Ejemplo 1.2 1. Comprobar que v = es un vector propio de la matriz A = y 1 6 −1 determinar cuál es su valor propioasociado. Ã ! Ã ! 5 1 Como Av = =5 se tiene que v es un vector propio de A asociado al valor propio 5 1 5. 1

2. Sea f el endomorfismo de R3 cuya expresión analítica es f (x, y, z) = (x + 2y − z, 3y, 4x − y − 4z). Comprobar que (1, 0, 1) es un vector propio del endomorfismo y hallar el valor propio correspondiente. Como f (1, 0, 1) = (0, 0, 0) = 0(1, 0, 1), se tiene que el vector (1, 0, 1) es unvector propio de f asociado al valor propio 0. Observación 1.3 Sea f un endomorfismo de Rn y A la matriz asociada a f respecto de la base canónica C de Rn . Entonces los valores propios (y los vectores propios) de f y de A son los mismos. Esto se debe a que para todo vector-columna v ∈ Rn se cumple que f (v) = Av.

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Núcleo de una matriz

Dada una matriz A de orden n × n llamaremos núcleode A al siguiente conjunto de vectores (puestos en forma de columna) ker A = {v ∈ Rn : Av = 0}. Éste es el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es precisamente A (de este modo este sistema tiene n ecuaciones y n incógnitas). Así vemos que ker A es un subespacio de Rn cuyas ecuaciones implícitas tienen por matriz de coeficientes A. Además, porel teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que dim ker A = n − r(A). Nota: Si f es un endomorfismo de Rn tal que A es la matriz asociada a f respecto de la base canónica, entonces ker A = ker f .

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Polinomio característico

Sea λ un escalar del cuerpo y A una matriz cuadrada de orden n. Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si existe un vector no nulo v ∈ Rn tal que Av = λv. Ahora...