Ecuaciones Diferenciales

Lecci´n I o

Ecuaciones diferenciales
I.1. Ecuaciones diferenciales. El problema de Cauchy

Una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n ∈ N y con condiciones iniciales en el punto a ∈ R o es toda expresi´n o y n) = f (t, y, y 1) , . . . , y n−1) );
1) n−1) y(a) = ya , y 1) (a) = ya , . . . , y n−1) (a) = ya

(I.1)

y donde el problema de su resoluci´n es encontrar todas las funcionesy = y(t), y : [a, b]−→R, que o i) hacen de la anterior expresi´n una igualdad y que adem´s verifican que y i) (a) = ya ∈ R. o a La primera observaci´n importante es que toda ecuaci´n diferencial de orden n se puede entender o o como una ecuaci´n diferencial de orden 1 a cambio de hacer lo siguiente: Llamando x1 (t) = y(t), o x2 (t) = y 1) (t),. . . , xn (t) = y n−1) (t), la primera ecuaci´n de(I.1) es equivalente al sistema o x1 (t) = x2 (t) x2 (t) = x3 (t) . . . xn (t) = y n) (t) = f (t, x1 (t), . . . , xn (t)) de donde (I.1) es equivalente a la expresi´n o x (t) = F (t, x(t)), x(a) = xa
1) n−1)

               (I.2)

(I.3)

donde F (t, x) = (x2 , . . . , xn , f (t, x2 , . . . , xn )) y xa = (ya , ya , . . . , ya ) ∈ Rn y donde el problema de resolverlo es elproblema de determinar las funciones x : [a, b]−→Rn que hacen de lo anterior una igualdad. Hay que decir que si F y ∂F/∂x son funciones continuas en un entorno que contenga al punto (a, xa ), entonces el problema del valor inicial , tambi´n llamado problema de Cauchy admite e n , en un entorno de (a, x ), la cual habr´ de verificar la relaci´n una unica soluci´n, x : [a, b]−→R ´ o a o a
t

x(t) = xa +y tambi´n e

F (u, x(u)) du
a

(I.4)

ti+1

xi+1 = xi +

F (t, x(t)) dt
ti

(I.5)

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´ LECCION I. ECUACIONES DIFERENCIALES a−b , del intervalo [a, b] y n

para a = t0 < t1 < . . . < tn = b una discretizaci´n h-espaciada, h = o xi = x(ti ).

Definici´n: De la ecuaci´n diferencial x (t) = F (t, x(t)) diremos que una ecuaci´n diferencial o o o aut´noma si F esindependiente del par´metro fundamental, es decir, F (t, x) = F (x), en cuyo caso o a la ecuaci´n diferencial toma la expresi´n o o x = F (x) y diremos que no es aut´noma si F depende del parametro fundamental t. o (I.6)

I.1.1.

M´todo de Euler e

Para aproximar la soluci´n podemos realizar diferenciaci´n num´rica en el t´rmino x (t). Reao o e e lizando la aproximaci´n m´s elemental, la quecorresponde a sustituir x (t) por x(t + h) − x(t)/h, o a obtendremos de (I.3) las dos expresiones equivalentes siguientes F (t, x) ≈ x(t + h) − x(t) h y x(t + h) ≈ x(t) + hF (t, x) (I.7)

pudiendo, entonces, construir una aproximaci´n {χi }, χi ≈ x(ti ), de la soluci´n x : [a, b]−→Rn en o o el intervalo [a, b] como sigue: t0 = a, t1 = t0 + h, ... ti+1 = ti + h,    χ0 = xa      χ1 = χ0 + hF (t0 ,χ0 )    ...     χi+1 = χi + hF (ti , χi )       0≤i≤n−1

(I.8)

n es el n´mero de pasos de la discretizaci´n y h el tama˜o del paso. El n´mero de puntos de u o n u discretizaci´n es igual a n + 1. o La relaci´n dada en (I.8) constituye el m´todo de Euler para la resoluci´n del problema de o e o Cauchy (I.3). Si F es de clase 1; es decir, si todas sus primeras derivadas parcialesson continuas, entonces, el error global de la aproximaci´n depende de las primeras derivadas parciales de F y es o del orden de h. Claramente, si F es constante el error es nulo pues la soluci´n es lineal. o

I.1.2.

M´todo de Runge–Kutta de segundo orden e

Para incrementar el orden de exactitud en el c´lculo de χi+1 a partir de χi mediante la igualdad a
ti+1

xi+1 = xi +

f (t, x(t))dt
ti

(I.9)

podemos proceder incrementando el orden de exactitud en el m´todo de integraci´n utilizado para e o el c´lculo de la integral a
ti+1

f (t, x(t)) dt
ti

(I.10)

Si utilizamos la regla de los trapecios, resulta

I.1. ECUACIONES DIFERENCIALES. EL PROBLEMA DE CAUCHY

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ti+1

F (t, x) dt ≈ T (F, h) =
ti

h [F (ti , xi ) + F (ti+1 , xi+1 )] 2

(I.11)

En...