ECUACIONES DIFERENCIALES

1

F.I.M.E.

MECATRONICA

EJERCICIOS 1.1

1. _

ORDEN

d2y
 dy 
 dy 
+ 13   + x 2 =  
2
dx
 dx 
 dx 

3

3

d3y
d 3y 
dy
+ 18  3  = 8 x +  3 
3)
dx
 dx 
 dx 

5

d3y
 dy 
4)  3  − 5 x = 8  
dx
 dx 


d 2 y 
5)  2  =
 dx 

1

SI

2

1

NO

3

5

NO

3

2

SI

2

1

SI

3

6

NO

2

6

NO

3

1

SI

5

2

NO

2

3

NO

x−2

d 2 y 
d3y
6)  2  + 3 x = 5 3 
 dx 
 dx 

3

d 2y
dy 

7)  2  + 7 x = 81 + 
dx 

 dx 
d3y
8)  3  =
 dx 
d 5y 
9)  5 
 dx 

1

3

3

LINEALIDAD

3

d3y
 dy 
= 3x   + 5 y
dx 3
 dx 
4

2)

GRADO

dy
dx
 d 2 y 2 
= 81 +  2  
  dx  



d 2 y 
 dy 
10 )  2  = 5 −  
 dx 
 dx 

5

1

4

2

5

8 de julio de 2008

2

F.I.M.E.

MECATRONICA

EJERCICO 1.2
Determinar si lasolución general es o no de la ecuación general dada.
1) y = c + cx
2

−1

y + xy ′ = x 4 ( y ′) 2

dy
= 0 − cx − 2
dx
c 2 − cx −1 + x(cx − 2 ) = x 4 (cx − 2 )
c 2 − cx −1 + cx −1 = x 4 (c 2 x − 4 )
c2 = c2
2) e

Cosx

Si es solucion
 dy 
Seny   + SenxCosy = Senx
 dx 

(1 − Cosy ) = 0

(

)

(

)

dy
= e Cosx Seny + (1 − Cosy )e Cosx (− Senx )
dx
dy
= e Cosx Seny y ′ − (1 − Cosy )e Cosx (Senx)
dx
(1 − Cosy )e Cosx (Senx )
y′ = −
e Cosx Seny

(

)

 (1 − Cosy )e (Senx ) 
 + SenxCosy = Senx
Seny −
e Cosx Seny


Senx = Senx Si es solucion
Cosx

(

3)

)

y = 8x5 + 3x2 + c

d2y
 2  − 6 = 160 x 3
 dx 

dy
= 40 x 4 + 6 x
dx
d2y
= 160 x 3 + 6
2
dx
160 x 3 + 6 − 6 = 160 x 3
160 x 3 = 160 x 3

4)

Si es solucion

y = c1 Sen3 x + c 2 Cos 3 x

d2y
 2  + 9 y = 0
 dx 

dy= 3c1Cos 3 x − 3c 2 Sen3 x
dx
d2y
= −9c1Cos 3 x − 9c 2 Sen3 x
dx 2
− 9c1Cos 3 x − 9c 2 Sen3x + 9(c1Cos3 x + c 2 Sen3 x) = 0
0 = 0 Si es solucion

8 de julio de 2008

3

F.I.M.E.

5)

MECATRONICA

 dy 
  + y = e−x
 dx 

y = ( x + c )e − x

dy
= −e − x ( x + c ) + e − x
dx
− e − x ( x + c ) + e − x + −e − x ( x + c ) = e − x
e−x = e−x
6)

Si es solucion
 dy 
  − 5y = 0
 dx 

y = ce 5 xdy
= 5ce 5 x
dx
5ce 5 x − 5ce 5 x = 0
0 = 0 Si es solucion
2

7)

 d 2 y   dy 
y 2  −   = y 2 ln y
 dx   dx 

ln y = c1 Senx + c 2 Cosx

dy
= y (c1Cos − c 2 Senx)
dx
d2y
= y ( −c1 Senx − c 2 Cosx ) + (c1Cosx − c 2 Senx) dy
dx 2
2
y[ y (c1Cos − c 2 Senx ) − (c1Cosx − c 2 Senx) dy ] − [ y (c1Cos − c 2 Senx) ] = y 2 ln y
y 2 (c1Cos − c 2 Senx) + y 2 (c1 Senx − c 2 Cosx ) − y 2 (c1Cos +c 2 Senx ) = y 2 ln y
y 2 (c1 Senx − c 2 Cosx ) = y 2 (c1 Senx − c 2 Cosx ) Si es solucion

EJERCICIOS 1.3
1) y = 7x² + 8x + C
y = 14 x + 8
2) y = C1x² + C2
y' = C1(2x)
y"= 2C1

2C1 = y'
x

x( y”) = y'

8 de julio de 2008

4

F.I.M.E.

MECATRONICA

3) y = C1 sen 8x + C2 cos8x
y' = 8C1 cos 8x – 8C2 sen 8x
y" = -64 C1 sen 8x – 64C2 cos 8x
y"= -64y
y" + 64y = 0

4) y = tan (3x + c)
Tan ‫־‬¹ (y) =3x + c
y' _
1 + y² = 3
y' = 3 (1 + y² )

e 3 x ) + C2( e −5x )
3x
−5 x
y' = 3C1( e
) – 5C2( e
)
3x
−5 x
) + 25C2( e
)
y" = 9C1( e

5) y = C1(

e 3 x ) + 5C2( e −5x )
3x
−5 x
y' = 3C1( e
) – 5C2( e
)
3x
-3 [ 5y + y' = 8C1( e
)]

5y = 5C1(

e 3 x ) – 25C2( e −5x )
3x
−5 x
) + 25C2( e
)
y" = 9C1( e
3x
)
5y' +y" = 24C1( e

e 3x )
3x
5y' +y" = 24C1( e
)

-15y - 3y' = - 24C1(

5y' = 15C1(

-15y - 3y' +5y' +y" = 0

y" + 2y' – 15y = 0

6) y = x tan (x + c)
Tan ‫־‬¹ (y/x) = x + c
xy' – y
x² __
1 + y²_
x²

xy' – y
x²

y²
= 1 + x²

= 1
xy'- y = x² + y²

xy' = x² + y² + y

7) y = C1 senh(x) + C2 cosh(x)
y' = C1 cosh(x) + C2 senh(x)
y" = C1 senh(x) + C2 cosh(x)
y"= y

8 de julio de 2008

5

F.I.M.E.

MECATRONICA

8) x²_
y²_
C1² = 1 - C2²
- 2 C2²yy'

2C1²x_
C1

4

xC2² = -yy'(C1²)
C2² = -C1²yy" -C1²(y')²
C2² = C1²( -yy'' - (y')² )

=

C2

4

-yy'
x = -yy'' - (y')²

xC2²_
C1²
= -yy'

x [yy'' + (y')²] = yy'

9) y = x sen(x + c)
y_
x = sen (x + c)
sen‫ ־‬¹ (y/x) = x + c
(xy' - y)² = [

1−

y2
]²
x2

(x²)²
xy' - y
x²___

1−

= 1

x²(y')² - 2xy'y + y² = (1 - y²/x² ) x

4

y2
x2

x²(y')² - 2xy'y + y² + x²y² = x

4

10) ( x – C1)² + y² = C2²
x² - 2xC1 – C1² + y² = C2²
2x – 2C1 + 2yy' = 0
[ 2 +...