Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden ( porque la derivada más grande que vamos a encontrar es la segunda) es de la forma:

sellama Ecuación homogénea si:


Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:


Laecuación característica o ecuación auxiliar es de la forma:


Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar utilizando la fórmula general:



Por tantoes necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.
1. Primer caso: raíces reales y diferentes:
Discriminante positivo .
Para este caso, son raícesreales y diferentes. Por lo tanto se dice que existen dos soluciones particulares o fundamentales:


La solución general estaría dada por pa combinación lineal de las soluciones fundamentales (Suarez,2009):


2. Segundo caso: soluciones reales e iguales:

Discriminante cero .
En este caso, son raíces reales e iguales. Por lo tanto la solución general es (Suarez, 2009):


3. Tercer caso: Raícescomplejas:

Cuando ocurre que el discriminante es menor que cero:

la raíz es negativa y por lo tanto la ecuación no tiene raíces reales y se llama Ecuación Compleja.
ECUACIÓN COMPLEJA:
Es aquella ecuaciónde segundo orden o de orden par, cuya solución tiene un discriminante de raíz negativa. Este hecho nos conduce a una rama de la matemática llamada Variable Compleja. Es necesario saber que la raízcuadrada de (-1) es igual a i, es decir:

de esta forma la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo (-9) será igual a (Villalba, 2010):


Para este caso, ; son raíces complejas conjugadas.Reemplazando en tenemos:







Tenemos que:


Reemplazando:


Realizando operaciones:


Factorando:


Como y ,
)

Finalmente se obtiene la solución general (Suarez, 2009):


Ecuación diferencial...