Ecuaciones Lineales

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales

Estructura del tema.
• Definiciones b´
asicas • Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales • Clasificaci´on de los
sistemas seg´
un el n´
umero de soluciones. Teorema de Rouch´e-Frobenius • M´etodos de resoluci´on.
M´etodo de Cramer. M´etodo de Gauss

0.1.

Definiciones b´
asicas

Una ecuaci´
on lineal es una ecuaci´on polin´omica de grado 1 enuna o varias inc´ognitas. Es
decir, es una expresi´
on de la forma
a1 x1 + ... + an xn = b
donde los t´erminos a1 , ..., an son n´
umeros reales conocidos que se llaman coeficientes; el t´ermino
b es tambi´en un n´
umero real conocido que se llama t´
ermino independiente, y por u
´ltimo los
s´ımbolos x1 , ..., xn se conocen como inc´
ognitas y son a priori desconocidas. Para un n´
umero
peque˜
node inc´
ognitas, ser´
a usual tambi´en denotarlas por las letras x, y, z, t, ...
Una soluci´
on de una ecuaci´
on es una asignaci´on de valores a las inc´ognitas de forma que se
verifique la igualdad.
Definici´
on 0.1.1. Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n inc´
ognitas a un conjunto
de m ecuaciones lineales en las mismas n inc´ognitas:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 



a21x1 + a22 x2 + ... + a2n x2 = b2 
.
....
....
...
....
.... 



am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm 

(1)

2

Llamaremos soluci´
on del sistema a cada asignaci´on de valores de las inc´ognitas {x1 = k1 , ...,
xn = kn } que sea soluci´
on com´
un a todas las ecuaciones del sistema, es decir: que verifique todas
las igualdades simult´
aneamente. Se llama soluci´
on general del sistema alconjunto de todas las
soluciones del sistema. Resolver un sistema es hallar su soluci´on general. Dos sistemas se dice que
son sistemas equivalentes si tienen la misma soluci´on general, es decir, si tienen exactamente las
mismas soluciones.
Para transformar un sistema en otro sistema equivalente podemos realizar las siguientes operaciones elementales:
• Intercambiar dos ecuaciones.
• Multiplicar unaecuaci´
on por un escalar no nulo.
• Sumar a una ecuaci´
on un m´
ultiplo de otra.
• Eliminar las ecuaciones triviales del tipo 0 = 0, las ecuaciones repetidas o las proporcionales.

0.2.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial. Por ejemplo, (1)
se puede escribir como
AX = b,
donde



A=



a11 a12
a21a22
...
...
am1 am2

... a1n
... a2n
... ...
... amn




,






X=



x1
x2
..
.













b=



y

xn

b1
b2
..
.




.



bm

A la matriz A se le llama matriz del sistema o de coeficientes. El vector X es el vector de
inc´
ognitas y el vector b es el vector de los t´
erminos independientes. Por u
´ltimo llamamos
matriz ampliada a la matriz que se forma cuandoa˜
nadimos a la matriz del sistema el vector de
los t´erminos independientes:


a11 a12 ... a1n b1


 a21 a22 ... a2n b2 
∗
.

A = (A|b) = 
... ... ...
... 

 ...
am1 am2 ... amn bm
Como caso particular de sistemas cabe destacar los sistemas homog´eneos:
Definici´
on 0.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homog´
eneo si su vector de
t´erminos independientes es el vectornulo.
Observemos que un sistema homog´eneo siempre admite la soluci´on trivial {x1 = 0, ..., xn = 0}.

0.3 Clasificaci´
on de sistemas. Teorema de Rouch´
e-Frobenius

0.3.

3

Clasificaci´
on de los sistemas seg´
un el n´
umero de soluciones. Teorema de Rouch´
e-Frobenius.

Atendiendo a la existencia o no de soluciones de un sistema y al n´
umero de ´estas se da la
siguiente clasificaci´
on.Definici´
on 0.3.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema incompatible si
no tiene soluci´
on. Por el contrario se dice que es un sistema compatible si tiene alguna soluci´
on.
En este u
´ltimo caso s´
olo caben dos posibilidades: o bien el sistema tiene una u
´nica soluci´on, y en
este caso se dice que es un sistema compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones,...