Elipse

UNIDAD VI
LA ELIPSE
OBJETIVO PARTICULAR
Al concluir la unidad, el alumno conocerá y aplicará las propiedades
relacionadas con el lugar geométrico llamado elipse, determinando los
distintos parámetros, su ecuación respectiva y viceversa.
6.1.

ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

Definición
“Es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos cuya suma de
sus distancias a dospuntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a”

6.1.1 Elementos de la elipse

“F1” y “F2”: a estos puntos se les denomina focos y se encuentran
ubicados sobre el eje focal, designando a la distancia entre ellos como 2c
“C”: Es el centro de la elipse, es el punto donde se intersecan los ejes
mayor y menor, representa además el punto medio entre los focos y los
vértices.
“V1” y “V2”: Son losvértices de la elipse, representan los puntos donde
coinciden el eje focal y la elipse, y la distancia entre ellos es 2a.
“B1” y “B2”: Son los extremos del eje menor de la elipse, es decir son los
puntos donde coinciden la elipse y el eje transversal (llamado también eje
conjugado tomando en cuenta que el eje transversal es el segmento de
recta perpendicular al eje focal en el centro del mismo).

YB

V1
( -a, 0 )

V
( a, 0 )

C

F1

F2

( -c, 0 )

( c, 0 )

B1

Figura 1
Eje mayor de la elipse: es la distancia entre “V1” y “ V2”
Eje menor de la elipse o transversal: es la distancia entre “B1” y B2”
Distancia Focal: Es la distancia que existe entre los focos “F1” y “F2”
Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada
foco, la elipse tiene 2 lados rectos.

Lado Re cto =2b 2
a

Excentricidad: Se representa con la letra “e” y es la relación que existe
entre la distancia focal (2c) y la longitud del eje mayor (2a).
e=

2c c
=
2a a

X

Y

B

V1 ( -a, 0 )

F1

F2

( -c,0)

( c,0)

V ( a, 0 )

X

B1

Figura 2

6.1.2. ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO ESTÁ EN EL
ORIGEN.
Si graficamos una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidiendo
con el eje de las X,se obtiene una figura como la siguiente:

Y

( 0,b)
B

R1
b
V1 ( -a, 0 )

PUNTO P ( x, y )

a

R2
V ( a, 0 )

c

F1

F2

( - c, 0 )

( c, 0 )

B1
( 0 ,- b )

Figura 3

Como se definió previamente, para que un punto P(x,y) pertenezca a la
elipse debe cumplir con R1 + R2 = 2a

Utilizando la ecuación de distancia entre dos puntos:
R1 + R2 = 2a

(x − (− c) ) + ( y − 0)
2

2

+

( x − c )2 + ( y − 0 )2= 2a

Despejando la primera de las raíces anteriores, para poder eliminar el
radical de la izquierda, se tiene:

(x − (− c) ) + ( y − 0)
2

2

= 2a −

(x − c )2 + ( y − 0)2 }

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

X

[ (x − (− c) )+ ( y − 0) ] = [2a −
2

2

2

(x − c )2 + ( y − 0)2

]

2

Desarrollando los binomios al cuadrado

x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 +x 2 − 2 xc + c 2 + y 2
Simplificando términos semejantes:

4 xc = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2
Dividiendo la ecuación por 4

a ( x − c) 2 + y 2 = a 2 − xc
Elevando nuevamente al cuadrado y agrupando términos semejantes nos
queda:
x 2 a 2 − x 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2c 2

Factorizando x² de los dos primeros términos y a² en el segundo miembro:
x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 )
En eltriángulo rectángulo BCF2 de la figura 3, se observa que:

b2 = a2 − c2
Sustituyendo:
x 2b 2 + a 2 y 2 = a 2b 2

Multiplicando por

1
nos queda:
a b2
2

x2 y2
+
=1
a2 b2
Que es la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro C(0,0).
En la cual (x,y) son las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a
la elipse.

Análogamente si la elipse tiene su eje mayor sobre el eje Y, se deja alalumno la obtención de su ecuación, aplicando un procedimiento similar
al anterior, debiendo llegar al siguiente resultado:

x2 y2
+
=1
b2 a2
Analizando las ecuaciones anteriores podemos observar que los
denominadores de los términos en el primer miembro se intercambian.
Por la naturaleza geométrica de la elipse, siempre se tiene que a>b,
debido a lo cual el mayor de los denominadores nos...