estructura del álgebra

Conferencia impartida en el instituto de matemáticas ciudad universitaria
Estructuras de algebra de lie semisimples

La conferencia expuesta por el Matemático Francisco Gabriel Hernández Zamoraegresado de la universidad veracruzana comenzó con darnos una introducción y marco histórico acerca de los grupos de lie dándonos la siguiente explicación;
“Los grupos de Lie fueron estudiados porprimera vez por el matemático noruego Sophus Lie, con esto intentaba definir un equivalente en las ecuaciones diferenciales a la teoría de Galois que fuera útil para las ecuaciones algebraicas. Losgrupos de Lie son elementales en física, análisis matemático y geometría ya que sirven para realizar la forma simétrica de las estructuras analíticas. Pueden ser clasificados en base a sus propiedadesalgebraicas, pueden ser simples, semisimples, resolubles, nilpotentes, abelianos entre otros.
Ya habiendo dado una rápida explicación, el ponente prosiguió a explicarnos que son las estructuras de liesemisimples “Aclaro que los conceptos los obtuve de las diapositivas de su conferencia”
Consideremos el espacio vectorial real R3 y definamos el producto vectorial de v = (v1,v2,v3) por w = (w1,w2,w3)como el vector v × w def =(v2w3− v3w2,v3w1− v1w3,v1w2− v2w1),
y es inmediato que × es una operación bilineal y anti simétrica, es decir, v × w = −w × v para cualesquier pareja de vectores v,w ∈ R3.Después de realizar un cálculo rutinario, podemos ver que × satisface la siguiente relación para u, v,w ∈ R3 (u × v) × w = hu,wi v − hv,wiu, llamada triple producto vectorial. A partir del tripleproducto vectorial, se verifica directamente la identidad de Jacobi para × y si definimos [v,w] = v × w se concluye que (R3, [, ]) es una algebra de Lie.
Una vez definido lo que es un algebra de lieprosiguió a explicar lo que es un algebra de lie semisimple definiendo.
Un algebra de Lie g sobre K se dice semisimple si su forma de Killing Bg es no degenerada. Y se dice simple si sus únicos ideales...