Estructuras Algebraicas

MATERIA: TEORIA DE GRAFO

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

04/ 04/ 2012
ESTRUCTURA ALGEBRAICA

Sea A un conjunto no vacío, una operación binaria (u operación interna) en A
es una aplicación

*: A A →A
(x, y) →x * y

es decir, una regla que a cada par de elementos x, y de A les asocia un único
elemento de A, denotado por x * y.
Un conjunto con una o más operaciones internas se llamaálgebra binaria,
estructura algebraica o sistema algebraico, y se denota (A, *, #, ...). El tipo o
clase de estructura se caracterizará atendiendo a las propiedades que verifiquen
las operaciones definidas en el conjunto.
PRINCIPALES ESTRUCTURAS
Semigrupo:

Un semigrupo es un par (S, ∗) donde ‘∗’ es una operación interna en S que verifica
la propiedad asociativa. Es por tanto la estructuraalgebraica más sencilla
posible. Si además la operación tiene elemento neutro en S, se dice que (S, ∗) es
un monoide. En cualquiera de los dos casos (semigrupo o monoide), si se verifica
además la propiedad conmutativa, se dice que el semigrupo (o el monoide) es
conmutativo o abeliano.

Ejemplo:

1. Tanto (IN,+) como (IN, ·) son monoides conmutativos.
Grupo:

Un grupo es un monoide(G, ∗) en el que todo elemento x ∈ G tiene inverso. Si
además se verifica la propiedad conmutativa, se dice que el grupo es abeliano (o
conmutativo). En la práctica, cuando un grupo es abeliano la operación se denota
en forma de suma, y en caso contrario se denota en forma de producto. En
el primer caso (notación aditiva), el elemento neutro se denota por 0 (cero) y el
elemento “opuesto” de xse denota por −x, y en el segundo caso (notación multiplicativa),
el elemento neutro se denota por 1 (unidad) y el elemento “inverso”
de x se denota por x−1.

Ejemplo

1. Tanto (ZZ,+) como (IR \ {0}, ·) son grupos abelianos

Anillo:

Un anillo es una terna (A,+, ·) tal que:

1. (A,+) es un grupo abeliano.
2. (A, ·) es un semigrupo.
3. El producto es distributivo respecto de lasuma.

Si además existe elemento neutro 1 (o unidad) del producto, el anillo se dice
unitario, y si el producto es conmutativo se trata de un anillo conmutativo
(puede ser ambas cosas, que es el caso más corriente, y entonces se trata de un
anillo conmutativo y unitario).

Ejemplo:

1. (ZZ,+, ·) es un anillo conmutativo y unitario.
2. Si (A,+·) es un anillo conmutativo (y unitario) entonceslos polinomios
en un número finito de indeterminadas con coeficientes en A, junto con
la suma y el producto usuales, es decir, (A[X1, . . . ,Xn],+, ·) es un anillo
conmutativo (y unitario).
Cuerpo:

Un anillo (K,+, ·) es un cuerpo si verifica la condición adicional de que (K∗, ·)
sea un grupo, donde K∗ := K \ {0}. Es decir
∀x ∈ K, (x 6= 0 ⇒ ∃x−1)
Si además el producto es conmutativo, setrata de un cuerpo conmutativo.
Ejemplo 2.5
1. Los conjuntos Q, IR y C son cuerpos con sus sumas y productos respectivos.
2. Si p es un número primo (positivo) y IFp := {0, 1, . . . , p − 1}, y las sumas
Retículo:

Un retículo es una terna (R,+, ·) tal que:
1. Ambas operaciones son asociativas.
2. Ambas operaciones son conmutativas.
3. Se verifican las “Leyes de Absorción” (osimplificativas):
x · (x + y) = x , x + (x · y) = x
Se puede probar que esta definición de retículo es equivalente a las dada en el
tema de relaciones de orden.

Ejemplo

1. (P(U),∪,∩) es un retículo.
2. (IN,⊔,⊓) es un retículo, donde
m ⊔ n := mcm(m, n) , m ⊓ n := mcd(m, n)
LEY DE COMPOSICION INTERNA Y EXTERNA
La ley de composición son dos tipos concretos de operación binaria que dan lugar a lasdistintas estructuras algebraicas.

Empleando los signos:

para representar operaciones matemática sobre los conjuntos:

Los elementos de los conjuntos los indicaremos con letras minúsculas:

Podemos diferenciar ley de composición interna y externa.
COMPOSICION INTERNA
Dado un conjunto A y una operación, que representaremos:

por la que definimos una aplicación que a cada par...