Evidencias Ecuaciones Diferenciales




Justificación
Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de lasecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes. En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables. Las primeras pueden definirse como expresiones del tipo
F(x)=0
Donde x representa la variable en cuestión y F una función real de variable real cuya regla de correspondencia está dada en términos de sumas, productos, o potencias de funciones familiares como laidéntica, el logaritmo, las funciones trigonométricas o las inversas de éstas. Si la ecuación tiene más de una variable, digamos x1,x2, ..., xn entonces quedaría definida como una expresión del tipo
F(x1,x2, ..., xn)=0
Hemos visto que es posible, utilizando el lenguaje del Cálculo, escribir un nuevo tipo de ecuaciones: Las ecuaciones diferenciales. Junto con ellas surge también un problema, el deresolverlas. Pero, ¿qué significa resolver una ecuación diferencial?. Antes de responder a esta pregunta regresemos a aquellas ecuaciones para las cuales estamos familiarizados con el problema de obtener soluciones. Consideremos el caso de una ecuación del tipo
F(x)=0
por ejemplo
x2−4x+3=0 (1)
Cuando nos planteamos el problema de encontrar soluciones de esta ecuación estamos suponiendo que existe unconjunto X donde la variable x puede tomar valores. En general la ecuación no es válida para toda x∈X y el problema de resolver la ecuación consiste en encontrar S ⊂ X tal que F(x)=0 si y sólo si x∈S. S conforma el conjunto de soluciones y los elementos de S son llamados soluciones de la ecuación. Para la ecuación (1), sabemos que
S={1,3}
y por lo tanto decimos que 1,3 son soluciones.UNIDAD 1
2.3.3 Variación de parámetros
Método solución de ecuaciones de diferenciales lineales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes.

El método de variación de parámetros se hace muy útil para resolver ecuaciones diferenciales donde la función de salida no es una función polinómica, exponencial, suma de senos y cosenos o el producto o suma de estas (aunque es igualmenteválido para el caso en que la función de salida sea una de las funciones antes citadas)

Este método permite resolver cualquier ecuación diferencial lineal no homogénea siempre y cuando las integrales que se generan puedan resolverse.
En este video se muestran las fórmulas propias del método, que involucra el concepto de wronskiano, para ecuación de segundo orden. Las fórmulas se hacen extensivas paraecuaciones de orden superior.

En este video veremos una técnica para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes conocida como variación de parámetros. Cuando teníamos una ecuación diferencial de la siguiente forma: y’’+p(x)y’+q(x)y= g(x), se presentaba un problema con los métodos anteriores ya que la función de salida g(x) tenía que ser un exponencial ouna suma de senos y cosenos o una función polinómica o la multiplicación entre todos los casos anteriores, es decir los métodos anteriores restringían la función de salida, lo que no pasa con la técnica de variación de parámetros, ya que esta técnica no restringe la función de salida g(x) y nos da la solución general para este tipo de ecuaciones . 

En los videos anteriores veíamos que si teníamosuna ecuación diferencial con la forma: y’’+p(x)y’+q(x)y= g(x), además con P(x) y q(x) constantes, podíamos hallar la solución homogénea de esta ecuación y que estaba expresada como YH=C1e^(m1x)+C2e^(m2x) donde las e eran dos pequeñas funciones que nombrábamos y1 y y2, la técnica de variación de parámetros parte de este hecho y nos dice que la forma que posee la solución particular de la...