Factorizaci n de un polinomio Vitutor

Factorización de un polinomio
Sacar factor común
C on si ste  en   ap l i car   l a  p r op i ed ad   d i str i b u ti va:

a  ·   b   +   a  ·   c  +   a  ·   d   =   a  ( b   +   c  +   d )

Ejemplos

D escomp on er   en   f actor es  sacan d o  f actor   comú n   y  h al l ar   l as  r aí ces

1. 

x 3   +  x 2   =  x 2   ( x  +   1 )

L a  r aí ces  son :  x  =   0   y  x  =   − 1

2. 

2 x 4  +  4 x 2   =  2 x 2   ( x 2   +   2 )

Sól o  ti en e  u n a  r aí z  x  =  0 ;  ya  q u e  el   p ol i n omi o,  x 2   +  2 ,  n o  ti en e  n i n g ú n   val or   q u e  l o  an u l e;
d eb i d o  a  q u e  al   estar   l a  x  al   cu ad r ad o  si emp r e  d ar á  u n   n ú mer o  p osi ti vo,  p or   tan to  es
i r r ed u ci b l e.

3. 

x 2   −  ax  −  b x  +  ab   =  x  ( x  −   a)   −  b   ( x  −   a)   =   ( x  −   a)   ·   ( x  −   b )

L a  r aí ces  son   x  =   a   y  x  =   b .

Diferencia de cuadrados
Un a  d i f er en ci a  d e  cu ad r ad os  es  i g u al   a  su ma  p or   d i f er en ci a.

a 2   −   b 2   =   ( a  +   b )   ·   ( a  −   b )

Ej em p l os

D escomp on er   en   f actor es  y  h al l ar   l as  r aí ces

1. 

x 2   −  4   =  ( x  +   2 )   ·   ( x  −  2 )

L as  r aí ces  son   x  =   − 2   y  x  =   2

2. 

x 4   −  1 6   =  (x 2   +  4 )  ·  (x 2   −  4 )  =

2. 

x 4   −  1 6   =  (x 2   +  4 )  ·  (x 2   −  4 )  =

=   ( x  +   2 )   ·   ( x  −   2 )   ·   ( x 2   +   4 )

L as  r aí ces  son   x  =   − 2   y  x  =   2

Trinomio cuadrado perfecto
Un   tr i n omi o  cu ad r ad o  p er f ecto  es  i g u al   a  u n   b i n omi o  al   cu adr ad o.

a 2   ±   2   a  b   +   b 2   =   ( a  ±   b ) 2

D escomp on er   en   f actor es  y  h al l ar   l as  r aí ces

1. 

Ej em p l os  

L a  r aí z  es   x  =   − 3 ,  y  se  d i ce  q u e  es  u n a  r aí z
d ob l e.

2. 

L a  r aí z  es  x  =   2 .

Trinomio de segundo grado
Par a  d escomp on er   en   f actor es  el   tr i n omi o  d e  seg u n d o  g r ad o  P(x)  =  ax 2   +  bx  +  c  ,  se  i g u al a  a  cer o  y
se  r esu el ve  l a  ecu aci ón   d e  2 º   g r ad o.  Si   l as  sol u ci on es  a  l a  ecu aci ón   son   x 1   y  x 2 ,  el   p ol i n omi o
d escomp u esto  ser á:

ax 2   +   b x  +   c  =   a  ·   ( x  −   x 1 )   ·   ( x  −   x 2 )

Ej em p l os

D escomp on er   en   f actor es  y  h al l ar   l as  r aí ces

1. 

L as  r aí ces  son   x  =   3  y  x  =   2 .

2. 

L as  r aí ces  son   x  =   3   y  x  =   − 2 .

Trinomios de cuarto grado de exponentes pares
Par a  h al l ar   l as  r aí ces  se  i g u al a  a  cer o  y  se  r esu el ve  l a  ecu aci ón   b i cu ad r ad a.

1. 

x 4   −  1 0 x 2   +  9

x 2   =  t

x 4   −  1 0 x 2   +  9   =  0

t 2   −  1 0 t  +  9   =  0

Ej em p l os  

x 4   −  1 0 x 2   +  9   =  ( x  +   1 )   ·  ( x  −   1 )   ·   ( x  +   3 )   ·   ( x  −   3 )

2. 

x 4   −  2 x 2   −  3

x 2   =  t

t 2   −  2 t  −  3   =  0

x 4   −  2 x 2   +  3   =  (x 2   +  1 )  ·  (x  + 

)  ·  (x  − 

)

Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Uti l i zamos  el   teor ema  d el   r esto  y  l a  r eg l a  d e  R u f f i n i   p ar a  en con tr ar   l as  r aí ces  en ter as.

L os  p asos  a  segu i r   l os  ver emos  con   el   p ol i n omi o:

P(x)  =  2 x 4   +  x 3   −  8 x 2   −  x  +  6

1

T omamos  l os  d i vi sor es  d el   tér mi n o  i n d ep en d i en te:  ±1 ,  ±2 ,  ±3 .

2

Ap l i can d o  el   teor em a  d el   r esto   sab r emos  p ar a  q u e  val or es  l a  d i vi si ón   es  exacta.

P(1 )  =  2   ·  1 4   +  1 3   −  8   ·  1 2   −  1   +  6   =  2   +  1 −  8  −  1   +  6   =  0

3

D i vi d i mos  p or   R u f f i n i .

4

Por   ser   l a  d i vi si ón   exacta,  D  =   d   ·   c

(x  −  1 )  ·  (2 x 3   +  3 x 2   −  5 x  −  6   )

Un a  r aí z  es  x  =  1 .

C on ti n u amos  r eal i zan d o  l as  mi smas  op er aci on es  al   seg u n d o  f actor .
Vol vemos  a  p r ob ar   p or   1   p or q u e  el   p r i mer   f actor   p od r í a  estar...