FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Páginas: 5 (1041 palabras)
Publicado: 9 de abril de 2015
Factorización de un polinomio
Métodos para factorizar un polinomio
Sacar factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
2 2
1
x3
+ x
= x(x + 1)
La
raíces
son: x = 0 y x = −1
4
2
2 2
2
2x
+ 4x
= 2x
(x+ 2)
2
Sólo tiene una
raíz X = 0; ya que el polinomio, x
+ 2, no tiene ningún valor que lo anule;
debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es
irreducible.
3
x2
−ax −bx + ab = x (x −a) −b (x −a) = (x −a) · (x −b)
La
raíces
son x = a y x = b.
Igualdad notable
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
2 2
a
−b= (a + b) · (a −b)
Descomponer en factores y hallar las raíces
2
1 x
−4 = (x + 2) · (x −2)
Las raíces son x = −2 y x = 2
2
2
2
2
x4
−16 = (x
+ 4) · (x
−4) = (x + 2) · (x −2) · (x
+ 4)
Las raíces son x = −2 y x = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
2
2
2
a
± 2 a b + b
= (a ± b)
Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces
La raíz es x = −3,
y se dice que es una
raíz doble
.
La raíz es x = 2.
Trinomio de segundo grado
2
Para
descomponer en factores el trinomio de segundo grado
P(x) = ax
+ bx + c ,
se iguala a
cero y se resuelve la ecuación de 2º grado
. Si las soluciones a la ecuación son x
y x
, el
1
2
polinomio descompuesto será:
2
ax
+ bx+ c = a · (x −x
) · (x −x
)
1
2
Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = −2.
Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar
sus raíces
4
2
x
− 10x
+ 9
2
x
= t
4
2
x
− 10x
+ 9 = 0
2
t
− 10t + 9 = 0
4
2x
−10x
+ 9 = (x + 1) · (x −1) · (x + 3) · (x −3)
4
2
x
− 2x
− 3
2
x
= t
2
t
− 2t − 3 = 0
4
2
2
x
− 2x
+ 3 = (x
+ 1) ∙ (x +
) ∙ (x −
)
Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces
4
3
2
P(x) = 2x
+ x
− 8x
− x + 6
1Tomamos los divisores del término independiente:
±1, ±2, ±3.
2
Aplicando el
teorema del resto
sabremos para que valores la división es exacta.
4
3
2
P(1) = 2 ∙ 1
+ 1
− 8 ∙ 1
− 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3Dividimos por Ruffini
.
4Por ser la división exacta
,
D=d·c
.
3
2
(x − 1) ∙ (2x
+ 3x
− 5x − 6 ) Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
3
2
P(1) = 2 ∙ 1
+ 3 ∙ 1
− 5
·
1 − 6≠ 0
3
2
P(−1) = 2 ∙ (− 1)
+ 3 ∙ (− 1)
− 5 ∙ (− 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0
2
(x −1) ∙ (x +1) ∙ (2x
+x −6)
Otra raíz es x = −1. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos
haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar
raíces enteras
.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por
−
1.
2
P(−1) = 2 ∙ (−1)
+ (−1) − 6 ≠ 0
2
P(2) = 2 ∙ 2
+ 2 − 6 ≠ 0
2
P(−2) = 2 ∙ (−2)
+ (−2) − 6 = 2 ∙ 4 − 2 − 6 = 0
(x − 1) ∙ (x + 1) ∙ (x + 2) ∙ (2x − 3 )
Sacamos
factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.
2x − 3 = 2 (x − 3/2)
La
factorización del polinomio
queda:
4 3
2
P(x) = 2x
+ x−8x
−x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x −3/2)
Las raíces son : x = 1, x = −1, x = −2 y x = 3/2
Todas las raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales. ...
Métodos para factorizar un polinomio
Sacar factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
2 2
1
x3
+ x
= x(x + 1)
La
raíces
son: x = 0 y x = −1
4
2
2 2
2
2x
+ 4x
= 2x
(x+ 2)
2
Sólo tiene una
raíz X = 0; ya que el polinomio, x
+ 2, no tiene ningún valor que lo anule;
debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es
irreducible.
3
x2
−ax −bx + ab = x (x −a) −b (x −a) = (x −a) · (x −b)
La
raíces
son x = a y x = b.
Igualdad notable
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
2 2
a
−b= (a + b) · (a −b)
Descomponer en factores y hallar las raíces
2
1 x
−4 = (x + 2) · (x −2)
Las raíces son x = −2 y x = 2
2
2
2
2
x4
−16 = (x
+ 4) · (x
−4) = (x + 2) · (x −2) · (x
+ 4)
Las raíces son x = −2 y x = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
2
2
2
a
± 2 a b + b
= (a ± b)
Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces
La raíz es x = −3,
y se dice que es una
raíz doble
.
La raíz es x = 2.
Trinomio de segundo grado
2
Para
descomponer en factores el trinomio de segundo grado
P(x) = ax
+ bx + c ,
se iguala a
cero y se resuelve la ecuación de 2º grado
. Si las soluciones a la ecuación son x
y x
, el
1
2
polinomio descompuesto será:
2
ax
+ bx+ c = a · (x −x
) · (x −x
)
1
2
Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = −2.
Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar
sus raíces
4
2
x
− 10x
+ 9
2
x
= t
4
2
x
− 10x
+ 9 = 0
2
t
− 10t + 9 = 0
4
2x
−10x
+ 9 = (x + 1) · (x −1) · (x + 3) · (x −3)
4
2
x
− 2x
− 3
2
x
= t
2
t
− 2t − 3 = 0
4
2
2
x
− 2x
+ 3 = (x
+ 1) ∙ (x +
) ∙ (x −
)
Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces
4
3
2
P(x) = 2x
+ x
− 8x
− x + 6
1Tomamos los divisores del término independiente:
±1, ±2, ±3.
2
Aplicando el
teorema del resto
sabremos para que valores la división es exacta.
4
3
2
P(1) = 2 ∙ 1
+ 1
− 8 ∙ 1
− 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3Dividimos por Ruffini
.
4Por ser la división exacta
,
D=d·c
.
3
2
(x − 1) ∙ (2x
+ 3x
− 5x − 6 ) Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
3
2
P(1) = 2 ∙ 1
+ 3 ∙ 1
− 5
·
1 − 6≠ 0
3
2
P(−1) = 2 ∙ (− 1)
+ 3 ∙ (− 1)
− 5 ∙ (− 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0
2
(x −1) ∙ (x +1) ∙ (2x
+x −6)
Otra raíz es x = −1. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos
haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar
raíces enteras
.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por
−
1.
2
P(−1) = 2 ∙ (−1)
+ (−1) − 6 ≠ 0
2
P(2) = 2 ∙ 2
+ 2 − 6 ≠ 0
2
P(−2) = 2 ∙ (−2)
+ (−2) − 6 = 2 ∙ 4 − 2 − 6 = 0
(x − 1) ∙ (x + 1) ∙ (x + 2) ∙ (2x − 3 )
Sacamos
factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.
2x − 3 = 2 (x − 3/2)
La
factorización del polinomio
queda:
4 3
2
P(x) = 2x
+ x−8x
−x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x −3/2)
Las raíces son : x = 1, x = −1, x = −2 y x = 3/2
Todas las raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales. ...
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