Forma Polar Y Trigonometrica De Un Número

4 Formas polar y trigonométrica de un número complejo.
4.1 Representación geométrica de un número complejo.
Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es
z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); yrecíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los núneros complejos C.
El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es:
|OP|= (a2 + b2)1/2 = |z|
que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas.
Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:
sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x
Luego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)

4.2 Forma trigonométrica y forma polar.
Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe elnombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento.
Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.

4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.
Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales:
Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x+ i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:
cos x = cos y  | ==> y = x + 2·k·pi, con k C Z |
sen x = sen y  | |
Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta:
rx = rx + 2·k·pi

4.4 Paso de la formabinómica a la forma polar
Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:
a = r·cos x  |
b = r·sen x |
Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que:
|z| = (a2 + b2)1/2
Además es:
b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x
Por tanto
x = arc tg (b/a)
estudiando el cuadrante de x según los signosde la parte real y de la parte imaginaria le z.

1. NUMEROS COMPLEJOS.
Los algebristas del los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo x ² + 1 = 0, se encontraron con
x = ±√-1. Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de"definir" nuevos números de la forma: a + b.i donde a y b son números reales e i es √-1 , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos (C).
Ejemplo:
La ecuación de segundo grado:
x ² - 6.x + 34 = 0
tiene como solución:
x = (6 ± √-100)/2
que expresaremos como
x = (6 ± 10.i)/2 = 3 ± 5.i
1.1 Definición.
Se llama número complejo atoda expresión de la forma z = a + b.i donde a y b son números reales ; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: i = √-1 o i ² = -1; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.
Si a = 0, el número complejo 0 + b.i = b.i, es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene el número real a + 0.i = a
Dos números complejos son iguales si: (a + b.i) = (c +d.i)  a = c; b = d es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado.
Un número complejo es igual a cero si: a + b.i = 0  a = 0; b = 0
1.2 Representación gráfica.

Sobre el eje de abscisas se representa la parte real a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. El número complejo (a, b) queda representado por el punto P(a, b) del plano de...